Granica ciągu Aleksandr: Cześć. Mam problem ze zrozumieniem jednego dowodu z analizy Krysickiego Wykazać, że jeżeli dla ciągu {u_n} istnieje granica

	un+1
|		|=q<1, n→∞, to
	un

lim u_n=0 i w rozwiązaniu jest coś takiego "Weźmy pod uwagę ciąg bezwzględnych wartości wyrazów danego ciągu: {|u_n|}. Ciąg ten od pewnego miejsca musi być malejący, ponieważ na podstawie definicji granicy dla każdego ε instnieje takie N, że

	un+1
|		|≤q+ε
	un

	un+1
I nie rozumiem, skąd się wzięło "|		|≤q+ε" ? rozumiem intuicyjnie, że jest to ciąg
	un

malejący, ale nie wiem, jak ta część ma się do tego

Adamm:

	un+1
|		| → q <1
	un

Z kryterium d'Alemberta szereg ∑ u_n jest zbieżny Zatem u_n→0 (warunek konieczny) dowód kryterium d'Alemberta znajdziesz w internecie dowód warunku koniecznego zbieżność ∑ u_n oznacza zbieżność jego sum częściowych S_n zatem a_n = S_n+1 − S_n → q−q = 0 (granica różnicy = różnica granic) twierdzenie można ulepszyć, korzystając z kryterium Cauchy'ego, które jest mocniejsze

jc: v_n=|u_n| > 0, v_n+1/v_n → g < 1 g < d < 1. Istnieje N takie, że dla n≥N, v_n+1/v_n ≤ d. 0 < v_N+k ≤ v_N d^k Z tw. o 3 ciągach, k →∞, prawa strona →0, a więc środek, czyli v_n →0. − v_n ≤ u_n ≤ v_n, a więc u_n →0.

jc: Adammie, kryteria zbieżności wynikają z nierówności 0 ≤ v_N+k ≤ v_Nd^k Szereg ∑d^k jest zbieżny ⇔ |d|<1. Wydaje się więc, że wnioskowanie granicy z kryteriów zbieżności to droga okrężna.

Aleksandr: Dzięki za pomoc!