badanie ciaglosci funkcji Radek: Zbadaj ciągłość, wyznacz pochodne cząstkowe dla funkcji danej wzorem: f(x,y) = (x³−2y³)/(x²+y²) dla (x,y) ≠ (0,0) 0 dla (x,y) = (0,0) czy f jest w (0,0) różniczkowalna? Pomoze ktos z tym zadaniem?

grzest: Funkcja f(x,y) jest ciągła w R². Wynika to z następującego oszacowania: 0≤I(x³−2y³)/(x²+y²)≤|x³|/x²+|y³|/y²=|x|+|y|→0 dla (x,y)→(0,0). Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach mamy:

	x3−2y3
lim(x,y)→(0,0)		=0.
	x2+y2

Pochodne cząstkowe:

∂f		x(x3+3xy2+4y3)
	=		,
∂x		(x2+y2)2

∂f		2y(x3+3x2y+y3)
	=−		.
∂y		(x2+y2)2

grzest: Funkcja f nie jest różniczkowalna w (0,0), gdyż pochodne cząstkowe nie są ciągłe w tym punkcie.

	∂f
Aby to wykazać obliczam granicę		dla (x,y)→(0,0) po prostej y=x oraz po prostej y=−x.
	∂x

W pierwszym przypadku (y=x) mamy:

	x(x3+3xy2+4y3)		8x4
lim(x,y)→(0,0)		=lim(x,y)→(0,0)		=2,
	(x2+y2)2		4x4

podczas gdy w drugim (y=−x):

	x(x3+3xy2+4y3)		0
lim(x,y)→(0,0)		=lim(x,y)→(0,0)		=0.
	(x2+y2)2		4x4

Granice nie są jednakowe, pochodna nie jest ciągła w (0,0).