Potęga punktu Pic: Dany jest punkt wewnątrz okręgu. Wykaż że jest on środkiem najkrótszej cięciwy tego okręgu przechodzącej przez ten punkt. W

kochanus_niepospolitus: Korzystamy z jednego z niewielu znanych na poziomie liceum twierdzenia: Dla danego punktu P i okręgu o, dla każdej siecznej przechodzącej przez P i przecinającej o w punktach A i B wartość wyrażenia |PA| ⋅ |PB| jest ta sama. Niech: |PA| = x |PB| = y |PA| * |PB| = c Założenia: x,y,c > 0 szukamy minimum funkcji f(x,y) = x+y

	c
podstawiamy y =
	x

	c
f(x) = x +
	x

	c		x2 − c
f'(x) = 1 −		=
	2x2		2x2

f'(x) = 0 ⇔ x² − c = 0 ⇔ x = +/− √c sprawdzamy, że dla x = √c mamy minimum tej funkcji i teraz: x*y = c ⇔ √c*y = c ⇔ y = √c c.n.w.

kochanus_niepospolitus: nie powinno być tej '2' w mianowniku w pochodnej

Pic: Dzięki