całeczka trygonometryczna, wykładniki parzyste turavis: ∫(sin⁶x)/(cos²x) dx

Adamm:

	1
tg(x) = u,		dx = du
	cos2(x)

	1
sin2(x) = 1−
	1+u2

	1		3		3		1
∫ (1−		)3du = ∫ 1−		+		−		du
	1+u2		1+u2		(1+u2)2		(1+u2)3

	3		1
= u − 3arctan(u) + ∫		−		du
	(1+u2)2		(1+u2)3

i wzór rekurencyjny

	1		1		u		1
∫		du =				+		arctan(u)+c
	(1+u2)2		2		u2+1		2

	1		1		u		3		1	u		1
∫		du =				+		(			+		arctan(u))+c =
	(1+u2)3		4		(u2+1)2		4		2	u2+1		2

	1		u		3		u		3
=				+				+		arctan(u) + c
	4		(u2+1)2		8		u2+1		8

	1		15		9		u		1		u
∫ (1−		)3du = u −		arctan(u)+				−				+c =
	1+u2		8		8		u2+1		4		(u2+1)2

	15		9		1
= tg(x) −		x+		sin(x)cos(x) −		sin(x)cos3(x)+c
	8		8		4

Jerzy: Można też przez części: = sin⁶x*tgx − 6∫sin⁵x*cosx*tgxdx = sin⁶xtgx − 6∫sin⁶xdx

Mariusz: Przez części to też dobry pomysł tyle że ja nieco inaczej dobrałbym części

	sin6(x)
∫		dx
	cos2(x)

	sin(x)		sin5(x)		sin4(x)cos(x)
∫sin5(x)		dx=		−5∫		dx
	cos2(x)		cos(x)		cos(x)

	sin6(x)		sin5(x)
∫		dx=		−5∫sin4(x)dx
	cos2(x)		cos(x)

∫sin⁴(x)dx=∫sin(x)sin³(x)dx ∫sin(x)sin³(x)dx=−cos(x)sin³(x)−∫(−cos(x))(3sin²(x)cos(x))dx ∫sin⁴(x)dx=−cos(x)sin³(x)+3∫sin²(x)cos²(x)dx ∫sin⁴(x)dx=−cos(x)sin³(x)+3∫sin²(x)(1−sin²(x))dx ∫sin⁴(x)dx=−cos(x)sin³(x)+3∫sin²(x)dx−3∫sin⁴(x)dx 4∫sin⁴(x)dx=−cos(x)sin³(x)+3∫sin²(x)dx

jc: Czysta trygonometria sin⁶x = (1−cos²)³ = 1−3cos²x + 3 cos⁴x − cos⁶x całka = ∫(1/cos²x − 3 + 3 cos²x − cos⁴x)dx cos²x= (cos 2x + 1)/2 cos⁴x =(cos 6x + 4cos 2x + 3)/8 całka = ∫(1/cos²x − 5/8 + (1/2) cos 2x −(3/8) cos⁴x) dx = tg x − (5/8)x + (1/4) sin 2x − (3/32) sin 4x (może być jakiś prosty błąd w dodawaniu)