Trygonometria
Dawid:
W trójkącie o bokach a, b, c kąt α leży naprzeciwko boku a, kąt β naprzeciwko boku b. Wykaż, że
jeśli
bc = a2 − b2, to α= 2β
14 sie 15:15
the foxi:
kąt naprzeciwko boku c oznaczę jako γ
α+β+γ=180
o ⇒ γ=180
o−(α+β)
sin(180
o−(α+β))=sin(α+β)
twierdzenie sinusów:
| a | | b | | c | |
| = |
| = |
| =2R |
| sinα | | sinβ | | sin(α+β) | |
zatem:
a=2Rsinα
b=2Rsinβ
c=2Rsin(α+β)
wiemy, że bc=a
2−b
2 − skorzystajmy z tego
4R
2sinβsin(α+β)=4R
2sin
α−4R
2sin
2β |:4R
2
sinβsin(α+β)=sin
2α−sin
2β
sinβsin(α+β)=(sinα−sinβ)(sinα+sinβ)
| | α+β | | α−β | | α+β | | α−β | |
sinβsin(α+β)=2cos( |
| )sin( |
| )*2sin( |
| )cos( |
| ) |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
na razie doszedłem dotąd, nie mam pomysłu jak dalej − szkoda mi to usuwać, a może ktoś
dokończy.
14 sie 17:40
the foxi:
hmm, może tak...
twierdzenie cosinusów:
a
2=b
2+c
2−2bccosα ⇒ a
2−b
2=c
2−2bccosα
b
2=a
2+c
2−2accosβ ⇒ a
2−b
2=−c
2+2accosβ
bc=c
2−2bccosα ⇒ bc+2bccosα=c
2 |:c (c>0)
(1)
bc=−c
2+2accosβ=c(2acosβ−c) |:c (c>0)
(2)
(1) b+2bcosα=c
(2) b=2acosβ−c
i do
(2) wstawię wyliczone c z
(1):
b=2acosβ−b−2bcosα |:2b
twierdzenie sinusów:
| a | | b | | a | | sinα | |
| = |
| ⇒ |
| = |
| |
| sinα | | sinβ | | b | | sinβ | |
| sinαcosβ | |
| −cosα=1 |*sinβ |
| sinβ | |
sinαcosβ−cosαsinβ=sinβ
sin(α−β)=sinβ
α−β=β ⇒ α=2β
c.n.w
uff...
14 sie 17:52
iteRacj@:
17:40 to prawie całość
α, β, α+β ∊ (0
o,180
o)
| | α+β | | α+β | | α−β | | α−β | |
sinβsin(α+β)=2cos( |
| )sin( |
| )2cos( |
| )sin( |
| ) |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
jeszcze dodać
sinβsin(α+β)=sin(α+β)*sin(α−β) sin(α+β)≠0
sinβ=sin(α−β)
β=α−β
α=2β i koniec
14 sie 18:01
Eta:
Można też tak:
Równoważnie w drugą stronę
jeżeli α=2β
to po dorysowaniu trójkąta równoramiennegoDAC
otrzymujemy dwa trójkąty równoramienne DAC i DBC podobne
| | a | | b | |
zatem: |
| = |
| ⇒ a2=b2+bc ⇒ bc=a2−b2 |
| | b+c | | a | |
zgodne z założeniem
c.n.w
14 sie 19:13