... Aga: Zbadaj zbieznosc jednostajna ciagu funkcyjnego f_n(x) = (2x)^1/n na przedziale [0,1]. lf_n(x) − f(x)l<ε l(2x)^1/n − f(x)l<ε Ile wynosi f(x) ?

Adamm: a^1/n → 1 przy n→∞, dla a>0

Milo: Zatem (z tego, co napisał Adamm), funkcja graniczna to f: f(x) = 0 dla x=0 f(x) = 1 dla x∊(0,1] Czy mamy zbieżność jednostajną? dla x>0: sup|(2x)^1/n − 1| = sup|e^1/n*ln(2x) − 1| ≥ |e^{1/n*ln(e−n)} − 1| = |e⁻¹ − 1|, (nierówność wzięła się stąd, że n−te supremum jest z samej definicji większe równe niż gdy za x podstawimy jakiś x_n. Wybraliśmy x_n = 1/2e⁻ⁿ, co oczywiście jest z przedziału (0,1] ) A zatem nie mamy zbieżności jednostajnej, bo pokazaliśmy, że dla każdego n supremum na (0,1] z |f_n − f| jest równe co najmniej 1−1/e, w szczególności więc ciąg supremów nie zbiega do 0 Tzn. o ile się nie pomyliłem w rachunkach

Adamm: @Milo jest ok Można też skorzystać z twierdzenia, że ciąg funkcji ciągłych zbieżny jednostajnie zbiega do funkcji ciągłej. f musi być ciągła, tak nie jest