funkcja kwadratowa Kasiunia: Niech b, c bedą całkowite takie że dla kzdej liczby naturalnej n istnieje liczba całkowita x taka że n|x²+bx+c. Wykaż że jest x²+bx+c ma rzeczywiste pierwiastki, to muszą być one całkowite.

Vax: Na początku udowodnimy lemat, że jeżeli liczba a jest resztą kwadratową modulo każda liczba naturalna to a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Istotnie, założenie oznacza, że a jest w szczególności resztą kwadratową modulo a², czyli istnieje takie całkowite t, że a² | a − t², stąd dla pewnego całkowitego s mamy sa² = a−t² ⇔ t² = a(1−sa). Ale a i 1−sa są względnie pierwsze, stąd skoro ich iloczyn jest kwadratem to każdy z czynników musi być kwadratem, stąd a jest kwadratem liczby całkowitej. Zauważmy, że z warunków zadania dostajemy, że dla każdego naturalnego n istnieje x takie, że: x²+bx+c = 0 (mod n) ⇒ 4x²+4bx+4c = 0 (mod n) ⇒ (2x+b)² = b²−4c (mod n) To zaś oznacza, że b²−4c jest resztą kwadratową modulo każda liczba naturalna, stąd z naszego lematu musi być to kwadrat liczby całkowitej. To zaś oznacza, że trójmian x²+bx+c ma wymierne pierwiastki, a z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach dostajemy, że skoro są wymierne muszą być one całkowite.