ciagi WIKI: Niech ciąg będzie zdefionowany rekurencyjnie przez a₁ = 1, a₂ = 7 oraz a_n+2 = 6a_n+1−a_n dla kazdego n>0 naturalnego. Wyznacz wszystkie wartości n dla których istnieje całkowite k takie że a_n = 2k²+1..

jc: Rozpatrz drugi ciąg b₁=1, b₂=5, b_n+2=6b_n+1−b_n. Sprawdź, że a_n²=2b_n²−1. Kiedy 2m²−1=2k²+1, k,m≥0? m²−k²=1, (m−k)(m+k)=1, tylko m=1, k=0. Wniosek, tylko a₁ jest tej postaci: a₁=2*0²+1.

jc: A jak sprawdzić? Może tak? a_n=(p²ⁿ⁺¹+q²ⁿ⁺¹)/2 b_n=(p²ⁿ⁺¹−q²ⁿ⁺¹)/2^3/2 p=1+√2 q=1−√2 2b_n²−a²=−(pq)²ⁿ⁺¹=(−1)²ⁿ⁺¹=1

jc: Trochę nie na temat napisałem ...