sinusy Adamm: Zadanie dla chętnych (możliwe że trudne) Dla jakich a∊R, sin(an) jest gęsty na odcinku [−1, 1] gęsty t. j. dla dowolnego x∊[−1, 1], i dla dowolnego ε>0, istnieje takie n, że |sin(an)−x|<ε

Pytający: n∊?

Adamm: ciąg

Adamm: sin(a), sin(2a), sin(3a), ...

gg: Wykorzystaj nierówność sin x < x dla x∊(0,π/2).

Adamm: Ja znam odpowiedź. I wiem jak do niej dojść. Chodziło o podzielenie się ciekawym zadankiem

jc: Adamm, wystarczy, aby a/π było liczbą niewymierną.

Adamm: Dokładnie tak. Inaczej mówiąc, żeby a nie było wymierną krotnością π

Benny: Ja bym chętnie zobaczył pełne rozwiązanie.

Blee: Pełne? Może tak trochę intuicyjny dowód: sinx jest funkcją okresową o okresie T = 2π aby funkcja f(n) = sin(a*n) nie była okresowa (dla n∊N₊) to a*n ≠ 2kπ ; k ∊ Q

	a
jako, że n∊N+ to musi zachodzić		∉ Q
	2π

Jest to warunek KONIECZNY i chyba każdy się zgodzi z tym ... teraz trzeba wykazać, że jest to warunek wystarczający

Adamm: zapiszmy x=sin(b)

	an−b		an+b		an−b		an−b
|sin(an)−sin(b)|=2|sin(		)cos(		)|≤2|sin(		)|=2|sin(		mod 2π)|
	2		2		2		2

an−b		an−b
	mod 2π =		mod 1
2		4π

	an−b
jeśli a/π jest niewymierne, to ciąg		mod 1 jest gęsty na [0, 1)
	4π

(jest to znany fakt, ciąg {θn} jest gęsty na [0, 1) dla θ niewymiernych) zatem możemy wybrać n, tak by

an−b
	mod 1<ε/2
4π

skąd |sin(an)−sin(b)|<2|sin(ε/2)|<ε jeśli a/π nie jest niewymierne, to łatwo można pokazać że ciąg sin(an) składa się z tylko skończonej ilości liczb, więc nie jest gęsty w [−1, 1]

Adamm: jeśli a/π jest wymierne* powinno być w ostatniej linijce

Adamm: oj, przepraszam kolejny błąd

an−b		an−b
	mod 2π =2π(		mod 1)
2		4π

wiele nie zmienia, ale jednak