Wykazać, że... alice: Wiedząc, że x+y=2, wykazać, że x³+y³≥2. Bardzo proszę o pomoc.

Adamm: to nie jest prawda gdy x, y<0

Blee: Ale Adamm ... obie nie moga byc ujemne

Adamm: Wystarczy by jedna była

alice: Dzięki za już. Proszę przyjąć, że x, y >0 (pewnie tak było w zadaniu, ale nie przepisałam).

PW: x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)=(x+y)((x+y)²−3xy) Po podstawieniu założenia (1) x³+y³=2(4−3xy) widać więc, że dla xy<0 nie ma czego dowodzić − badana suma sześcianów jest większa od 8. Przyjmijmy więc x>0 i y>0. Ciąg dalszy za chwilę.

PW: Jeżeli x i y są dodatnie, to z nierówności między średnia arytmetyczną a geometryczną x³+y³+1≥3³√x^3.y^3.1 x³+y³≥3xy−1 (2) 2(x³+y³)≥6xy−2 Dodanie stronami (1) i (2) daje 3(x³+y³)≥8−6xy+6xy−2 3(x³+y³)≥6, co kończy dowód (zapewne pokrętny, ale nie widzę prostszego).

ICSP: x,y > 0 , x + y = 2 ⇒ x³ + y³ ≥ 2 (x−y)² ≥ 0 x² − xy + y² ≥ xy // *(x+y) > 0 x³ + y³ ≥ x²y + xy² // * 3 3(x³ + y³) ≥ 3x²y + 3xy² // + x³ + y³ 4(x³ + y³) ≥ x³ + 3x²y + 3xy² + y³ // : 4

	(x+y)3
x3 + y3 ≥		= 2
	4

PW: O, bardziej mi sie podoba

mat: x³+y³=x³−1+y³−1+2=(x−1)(x²−x+1)+(y−1)(y²−y+1)+2 y=2−x x³+y³=(x−1)(x²−x+1)+(1−x)(x²−3x+3)+2=(x−1)(2x−2)+2=2(x−1)²+2 x³+y³≥2

alice: Bardzo wszystkim dziękuję

mat: tam jest drobny błąd u mnie tak teraz myśle, to najszybciej będzie po prostu sprawdzić, że x³+(2−x)³=6(x−1)²+2 nawet ręcznie nie trzeba załozenia ze nieujemne

Go$tek: Cześć Eta!

Eta: 3 sposób Z nierówności między średnimi potęgową i arytmetyczną

	x3+y3		x+y		x3+y3
3√		≥		⇒		≥1⇒ x3+y3≥2
	2		2		2

c.n.w.