wymiary Jerzy : wyznacz wymiary prostopadłościennej wanny o obj 32 tak aby jej pole powierzchni było minimalne

jc: 4 x 4 x 2

Basia: V = abc P = 2(ab+ac+bc) abc = 32

	32
c =
	ab

	32		32
P = f(a,b) = 2(ab +		+		)
	b		a

a,b >0

df		32
	= 2(b−		)
da		a2

df		32
	= 2(a−		)
db		b2

	32
b −		=0
	a2

	32
a −		= 0
	b2

a2b−32
	= 0
a2

ab2−32
	=0
b2

a²b−32=0 ab²−32=0 a²b = ab² a²b−ab²=0 ab(a−b)=0 a−b=0 a=b wtedy

	32		32
P=g(a) = 2(a2+		+		) = 2(a2+{64}{a})
	a		a

	64		a3−64
P' = 2(2a−		) = 4*
	a2		a2

P'=0 ⇔ a³−64=0 ⇔ a=4 a∊(0;4) ⇒ a³−64<0 ⇒ P'<0 ⇒ P maleje a∊(4;+∞) ⇒ a³−64>0 ⇒ P'>0 ⇒ P rośnie czyli dla a=4 mamy minimum

	32		32
ostatecznie a=b=4 c=		=		= 2
	ab		4*4

⇒jc jest prostszy sposób?

Blee: Basiu ... można na początku wykazać, że dla a=b będzie optymalne (szybko się to wykazuje) co mocno ułatwia dalsze rachunki

Basia: nie chciało mi się liczyć hesjana, ale chyba faktycznie byłoby szybciej

Blee: Basiu ... nie nie ... żaden Hesjan ... po prostu na początek wykazujesz, ze przy stałym c i V minimum będzie dla a=b

jc: Rozważamy równoważne zadanie. Pytamy o prostopadłościan o objętości 64 o najmniejszym polu. Wiadomo, że to sześcian (o boku 4). Po rozcięciu mamy dwie wanny. Wszystko to można uzasadnić stosując nierówność pomiędzy średnimi. Dla wanny mamy P=(2ah + 2bh + ab)/3 ≥ ³√4V², V=abh Wiemy, że równość zachodzi tylko dla równych składników 2ah=2bh=ab, czyli w przypadku a=b=2h

jc: Proponuję zadanie o prostopadłościennym budynku. Cena m² podłoga + sufit = P lewa + prawa ściana = Q frontowa + tylna = R Jaki dobrać rozmiary, aby budynek o objętości V był najtańszy?

Basia: przy stałym c i V mam funkcję

	V
b =
	ac

	V		V
P = 2(		+ac+		)
	c		a

	V		ca2−2V
P' = 2(c−		) =
	a2		a2

ca²−V=0 a = √V/c tak czy owak powinnam napisać dlaczego to jest minimum

	V√c
b =		= √V/c
	√V

a=b

	V
c =
	a2

	2V
i mamy P= 2(a2+ac+ac) = 2(a2+2ac) = 2(a2+		)
	a

na to samo wychodzi, tylko kolejność trochę inna

Basia: Poprzednie jest do Blee dwie wanny są fajne

Blee: jc −−− przy budynku to trochę bardziej skomplikowana sprawa, bo koszt ściany zewnętrznej oraz dachu i podłogi na gruncie jest trochę inny ... do tego jeszcze dochodzi koszt kolejnych kondygnacji ... do tego jeżeli masz zbyt wysoki budynek (5 kondygnacji o ile nie ma hali garażowej) to dochodzi jeszcze winda