równanie rekurencyjne pawel12111: Rozwiąż równanie rekurencyjne: a_n+1 = 2√2a_n−2a_n−1 dla a₁ = −2, a₂ = 0

Mila: 1) Równanie charakterystyczne: x²−2√2x+2=0 x=√2− pierwiastek podwójny 2) Rozwiązanie jest postaci: a_n=A*(√2)ⁿ+B*n*(√2)ⁿ 3) a₁=−2=A*(√2)¹+B*1*(√2)¹⇔ a₂=0=A*(√2)²+2B*(√2)² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2A+2B=−2√2⇔A+B=−√2 2A+4B=0⇔A+2B=0 B=√2, A=−2√2 ============= 4) a_n=−2√2*(√2)ⁿ+√2*n*(√2)ⁿ a_n=(√2)ⁿ⁺¹*(n−2) ==============

Mariusz: Funkcja tworząca jest wygodniejsza Nie trzeba zgadywać postaci rozwiązania Tutaj wystarczy zwykła dająca dla ciągu jedynek szereg geometryczny A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ

Pytający: Wygoda pojęcie względne. Rozwiązanie Mili nie opiera się na zgadywaniu.

Mariusz: Nie zgadywanie , to jak wytłumaczysz akurat taką postać rozwiązania w przypadku pierwiastków wielokrotnych ? Gdy równanie będzie niejednorodne to będzie jeszcze więcej zgadywania Korzystając z funkcji tworzących rozwiązanie dostajemy z szeregów geometrycznych i ich pochodnych bądź z dwumianu Newtona i tam nie ma zgadywania

jc: Mariusz, można powiedzieć, dla jakich równań metoda działa i podać szczegóły postępowania, więc to nie jest zgadywanie. A poza tym, co złego w zgadywaniu? Mamy się trzymać zapisanych schematów, a tworzenie nowych zostawić tym, którzy nie boją się zgadywania?

Benny: To tak samo jakbyś powiedział, że w przypadku równania różniczkowego liniowego niejednorodnego przy pierwiastkach wielokrotnych zgadujemy. Weźmy przykład: x''−2x'+x=0 Pierwiastkiem równania charakterystycznego jest jedynka − dwukrotny pierwiastek. Wiemy, że rozwiązaniem na pewno będzie x=ce^t, ale nie wiemy jaki jest drugi, ponieważ mamy pierwiastek podwójny. Wiemy natomiast, że możemy znaleźć funkcję u(t): x=u(t)e^t będzie rozwiązaniem. x'=u'e^t+ue^t x''=u''e^t+u'e^t+u'e^t+ue^t x''−2x'+x=u''e^t+u'e^t+u'e^t+ue^t−2u'e^t−2ue^t+ue^t=0 dostajemy, że u''=0 ⇒u=c₁t+c₂, więc ostatecznie x=c₁te^t+c₂e^t

Benny: Miało być jednorodnego*