pochodna z e Mikołaj: Miałem na egzaminie to zadanie i źle obiczyłem babka mi powiedziała że trzeba wstawić funkcję wymierną do wykładniczej a ja nie mam pojęcia o co chodzi

	2x
f(x) = 5 − e(		)
	4 + x2

the foxi: pochodna z e do x jest równa: (e^x)'=(e^x)'*x'=e^x*x^' to jest funkcja złożona

the foxi: w Twoim przypadku:

	2x		2x		2x
(e		)'=e		*(		)'
	4+x2		4+x2		4+x2

Mikołaj: Jezu ja myślałem że to jest e razu ten nawias

Mikołaj: tzn poczekaj

Mikołaj: Bo w zadaniu jest chyba e do potęgi ten nawias

the foxi: ech, z mojego zapisu tak wynika, ale ten ułamek to wykładnik, tak jak u Ciebie

Mikołaj: tak

the foxi:

	2x
niech t=
	4+x2

wtedy mamy: e^t'=e^t*t'

	2x		(2x)'(4+x2)−2x(4+x2)'		8+2x2+4x2
t'=(		)'=		=		=
	4+x2		(4+x2)2		(4+x2)2

	6x2+8
=
	(4+x2)2

czyli:

	2x		6x2+8
e(		)*
	4+x2		(4+x2)2

the foxi: oczywiście pochodna z funkcji f jest równa to co mi wyszło ale z minusem

Mikołaj: a jak mam obliczyć monotonicznosć?

też_babka: monotoniczność określisz, badając znak pochodnej

	8−2x2
w odejmowaniu nie został zmieniony znak na minus, więc powinno być *
	(4+x2)2

Mikołaj: ale minus był przed e bo było 5 − e to minus chyba zostaje

Dziadek Mróz: f(x) = 5 − e^2x/_4+x2 y = f(x) y = 5 − e^2x/_4+x2

	z
y = 5 − u u = ev v =		z = 2x t = 4+x2
	t

y' = [5 − u]' = [5]' − [u]' = −[u]' = ⁽¹⁾ u' = [e^v]' = e^v*[v]' = ⁽²⁾

	z		[z]'*t − z*[t]'
v' = [		]' =		= (3)
	t		t2

z' = [2x]' = 2 t' = [4+x²]' = [4]' + [x²]' = x

	2*(x+x2) − 2x*x		2x + 2x2 − 2x2		2x
(3) =		=		=
	(4+x2)2		(4+x2)2		(4+x2)2

	2x		2x*e2x/4+x2
(2) = e2x/4+x2*		=
	(4+x2)2		(4+x2)2

	2x*e2x/4+x2
(1) = −
	(4+x2)2

	2x*e2x/4+x2
[5 − e2x/4+x2]' = −
	(4+x2)2

też_babka: a nie powinno być t' = [4+x²]' = [4]' + [x²]' = 2x

	2*(4+x2)−2x*2x		8−x2
(3) =		=		?
	(4+x2)2		(4+x2)2

też_babka: *zgubiona dwójka

8−2x2
(4+x2)2

Mikołaj:

	2x		8 − 2x2
czyli cała pochodna wynosi e(		) * (		)
	4 + x2		(4 + x2)2

Jerzy: Tak.

też_babka: jeszcze ten minus o który Mikołaj pytałeś 09:58 czyli z odejmowania 5−e^v więc najlepiej zapisać w innej kolejności, żeby było widać gdzie jest wykładnik potęgi a gdzie składnik mnożony przez potęgę e

	8 − 2x2		2(x2−4)
(−1)*		*e 2x/(4+x2) =		*e 2x/(4+x2)
	(4 + x2)2		(4 + x2)2

Mikołaj: i to e zawsze dodatnie?

Mila: Pochodna jak we wpisie 15:45 g(x)=e^2x/(4+x2) >0 bo to funkcja wykładnicza ( e−stała w przybliżeniu 2,7..) liczba e− https://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego Znak pochodnej zależy tylko o licznika, bo mianownik też jest dodatni. f'(x)=0⇔ x²−4=0 x=2 lub x=−2 f'(x)>0⇔x²−4>0⇔ x<−2 lub x>2 masz dwa ekstrema, dalej poradzisz sobie?

daras: @Mikołaj 20:41 i dlatego żeby się nie pomylić zapisuje się to tak : e^x → exp(x)