całka Mikołaj: ∫¹_{sinx + sin2x}dx

Lech:

	1
∫		dx= [ podstawienie 1 + 2 cos x= t ⇔ dx = dt/(−2sin x) ] = .........
	sin x( 1+2cos x)

Mikołaj: aha skorzystałeś z tego twierdzenia o kwadracie cosinusów czy jakoś tak?

Sushi: Sin 2x= 2* sin x * cos x

jc: Czy na prawdę tak trudno postawić spację między sin a x?

	1		sin x
∫		dx =∫		dx
	sin x + 2 sin x cos x		sin2x(1 + 2cos x)

	sin x		dy
=∫		dx = −∫
	(1−cos2x)(1 + 2cos x)		(1−y2)(1+2y)

y = cos x

Mikołaj: To coś się nie zgadza w takim razie sorry ale jutro mam egzamin i od 6 matme robie wiec nie ogarniam

Lech: cos x = (t−1)/2 , sin²x = 1 − cos²x ⇔ sin²x = ( 1 − (1−t)²/4) Dokoncz ! Powodzenia !

Mikołaj: Dzieki

jc:

	1		1		1		1		2		1
=∫(				−				−				) dy
	2		1+y		6		1−y		3		1+2y

dalej łatwo − 3 logarytmy (sprawdź rozkład, w pamięci mogłem coś pomylić).

Mikołaj: rozkład mi wyszedł taki ¹_{(1−y²)(1+2y) = ^{Ay +B}}{{1−y²)} + u{C_{(1 + 2y)} czyli 1 = (Ay + B)(1+2y) + C(1 −y²) wymnażając mamy 1 = 2Ay − 2Ay² +B +2By +C − Cy² i powstają 3 równania dla y² 0 = 2A − C dla y 0 = 2B +A dla stałych 0 = B + C i wychodzi A = ²₃ B = −¹₃ C = −⁴₃ Ale też mogłem coś pomylić

jc: A/(1−y) + B/(1+y) + C/(1+2y)=1/... A(1+y)(1+2y)+B(1−y)(1+2y)+C(1−y²)=1 y=1, 6A=1, A=1/6 y=−1, −2B=1, B=−1/2 y=−1/2, 3/4 C=1, C=4/3 Teraz jest o.k. Pisząc ułamki, używaj dużej litery U (właściwie te małe ułamki powinny być usunięte z edytora).

Mikołaj: właśnie nie do końca bo kwadrat masz w nawiasie, sprawdziłem w filmie na yt ja mogłem się walnąc tylko w liczeniu rozbijasz to na 2 ułamki ale będziesz miał 3 rozwiązania będzie

1		Ay +B		C
	=		+
(1−y2)(1+2y)		(1−y2)		(1+2y)

jc:

	1		1		1		1		4		1
.. =				−				+
	6		1−y		2		1+y		3		1+2y

	1		1		2
całka = −		ln|1−y| −		ln |1+y| +		ln |1+2y|
	6		2		3

Rozkłada się, po to, aby łatwo było liczyć całki. Jeśli uważasz, że Twój rozkład jest wygodniejszy, możesz na nim poprzestać.

Mikołaj: Ale oba są poprawne?

jc: Pewnie tak. Ja zapomniałem o minusie przed całką.

Mariusz:

L(x)		A1		A2		An
	=		+		+...+
M(x)		(x−x1)		x−x2		x−xn

	L(x1)
A1=
	M'(x1)

	L(x2)
A2=
	M'(x2)

. . .

	L(xn)
An=
	M'(xn)

L(x)=−1 M(x)=(1−y)(1+y)(1+2y) M'(x)=−2y(1+2y)+2(1−y²) y=1 −2*3+2(1−1)=−6 y=−1 −2(−1)(1−2)+2(1−1)=−2

	1
y=−
	2

	1		1		3
−2(−		)(1−1)+2(1−		)=
	2		4		2

−1	1		−1	1		2	1
		+			−
−6	y−1		−2	y+1		3	1   y+   2

1	1		1	1		2	2
		+			−
6	y−1		2	y+1		3	2y+1