prawdopodobieństwo Bartek: 1. Urna zawiera 10 kul ponumerowanych od 1 do 10. Losujemy 4 kule: a) jednocześnie b) po kolei i ze zwrotem Zdarzenia: A − Wylosowaliśmy co najmniej jedną kule z numerem parzystym B − Wszystkie wylosowane kule mają numer większy od 3. Dla obu przypadków wyliczyć P(A), P(B), P(A' u B) Bardzo proszę o sprawdzenie moich obliczeń a) jedocześnie Zdarzenie A:

	10!		10!
|Ω| =		* 4! =		* 4! = 5040 * 4!, ponieważ:
	(10−4)!		6!

losuje cztery kule z dziesięciu, je rozróżniam(bo są ponumerowane), następnie te cztery wylosowane kule mogę ułożyć na 4! sposobów, zgadza się? A − Wylosowaliśmy co najmniej jedną kule z numerem parzystym, więc wyliczę zdarzenie przeciwne A' − wylosowaliśmy wszystkie kule z numerami nieparzystymi.

	5!		5!
A' =		* 4! =		* 4!, ponieważ
	(5−4)!		1!

losuje cztery kule z numerami nieparzystymi z pięciu, które mają numery nie parzyste, następnie te cztery kule mogę ułożyć na 4! sposobów, tak?

	5! * 4!
Ostatecznie P(A) = 1 − P(A') = 1 −		=
	5040 * 4!

	5!		120		41
= 1 −		= 1−		=
	5040		5040		42

Zdarzenie B: B − Wszystkie wylosowane kule mają numer większy od 3. Takich kul jest 7 = {4,5,6,7,8,9,10}

	7!
B =		* 4!, bo losuje cztery kule z siedmiu i je mogę ustawić na 4! sposobów.
	(7−4)!

	840 * 4!		840
P(B) =		=
	5040 * 4!		5040

Czy P(A'n B) to będą wszystkie nieparzyste większe od 3?, jeżeli tak to:

	120 * 4!		840 * 4!
P(A' u B) =		+		− P(A'n B) =
	5040 * 4!		5040 * 4!

	960 + 840		3
=		−		?
	5040		5040

b) Po kolei i ze zwotem |Ω| 10⁴ * 4!, ponieważ: losuje z dziesięciu kul cztery razy: 10*10*10*10 (wariancja z powtórzeniami), a następnie te 4 kule mogę ułożyć na 4! sposobów. A − Wylosowaliśmy co najmniej jedną kule z numerem parzystym, tak więc znów liczę zdarzenie przeciwne: A' = 5⁴ * 4!, ponieważ z pięciu kul losuje po jednej czterokrotnie i te cztery wylosowane moge rozmieścić na 4! sposobów.

	54 * 4!
P(A') =
	104 * 4!

	54 * 4!		15
P(A) = 1 −		=
	104 * 4!		16

B − Wszystkie wylosowane kule mają numer większy od 3. Kul takich jest 7, więc B = 7⁴ * 4!

	74 * 4!		2401
P(B) =		=
	104 * 4!		10000

Dziękuje i pozdrawiam

Mila: Niestety źle. X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} − numery kul a) losujemy 4 kule jednocześnie. Nie uwzględniamy kolejności

	10 4
|Ω|=		=210

1) A− wylosowano co najmniej jedną kulę z numerem parzystym X_n={1,3,5,7,9} X_p={2,4,6,8,10}

	5 4
|A'|=		=5− wylosowano wszystkie 4 kule z numerem nieparzystym ( ze zbioru Xn)

	5		1
P(A')=		=
	210		42

	1		41
P(A)=1−		=
	42		42

2) B − Wszystkie wylosowane kule mają numer większy od 3. X₃={4,5,6,7,8,9,10}

	7 4
|B|=		=35

	35		7		1
P(B)=		=		=
	210		42		6

	1		7
3) P(A'∪B}=P(A')+P(B)−P(A'∩B)=		+		−P(A'∩B)
	42		42

A'∩B− wszystkie 4 kule mają numery nieparzyste i numery większe od 3 (czyli możliwe numery nieparzyste ze zbioru {4,5,6,7,8,9,10}) |A'∩B|=0

	8		4
P(A'∪B)=		=
	42		21

====================== Jeżeli chcesz uwzględnić kolejność to wariacje bez powtórzeń |Ω|=10*9*8*7 − pierwsza kula na 10 sposobów druga już na 9, trzecia na 8, czwarta na 7

	10!		10!		6!*7*8*9*10
( inaczej		=		=		=10*9*8*7 i już masz ustawione
	(10−4)!		6!		6!

4 różne kule na wszystkie sposoby) |A'|=5*4*3*2

	5*4*3*2		4*3		1
P(A')=		=		=
	10*9*8*7		9*8*7		42

	41
P(A)=
	42

	7*6*5*4		1
P(B)=		=
	10*9*8*7		6

	4
P(A'∪B)=
	21

========================== Następne, jak to przeczytasz.

Bartek: Ehh, no czemu ja tam wstawiłem 4! :c Dobrze, w tym zadanie nie uwzględniamy kolejności. Gdyby było napisane, ze "wyjmujemy kolejno" to wtedy bym uwzględniał kolejność, tak? Gdybym miał takie zadanie na kolokwium jak podałem w wątku, to rozumiem że kolejności mam nie uwzględniać, bo nigdzie o tym nie jest napisane. Co do b) po kolei i ze zwrotem − to też niepotrzebnie dałem 4!? Dziękuje

Mila: (a) możesz zrobić ( ale nie musisz) z uwzględnieniem kolejności, pokazałam, że wyjdzie to samo, natomiast w( b) musisz uwzględnić kolejność, bo jest losowanie ze zwracaniem − więc wariacje z powtórzeniami. Jeszcze nie sprawdziłam (b). Po kolacji to zrobię.

Bartek: Okej, dziękuje Życzę smacznego i z niecierpliwością oczekuje

Mila: b) Losujemy 4kule po kolei i ze zwrotem X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} − numery kul Uwzględniamy kolejność |Ω|=10*10*10*10− wariacje z powtórzeniami 1) A− wylosowano co najmniej jedną kulę z numerem parzystym X_n={1,3,5,7,9} ,X_p={2,4,6,8,10} |A'|=5*5*5*5 − pierwsza na 5 sposobów, druga na 5 sposobów., trzecia na 5 sposobów czwarta na 5 sposobów (4 kule o nieparzystych numerach)

	5		1		1
P(A')=(		)4=(		)4=
	10		2		16

	15
P(A)=
	16

2)B − Wszystkie wylosowane kule mają numer większy od 3. X₃={4,5,6,7,8,9,10} |B|=7⁴

	74
P(B)=
	104

3) P(A'∪B}=P(A')+P(B)−P(A'∩B) X_4n={5,7,9} |A'∩B|=3*3*3*3 np: (5,7,7,9) − nieparzyste i nr>3

	3
P(A'∩B)=(		)4
	10

	1		74		34
P(A'∪B)=		+		−		=0.2945
	16		104		104

===============================

Bartek: Super, już wszystko jasne, dziękuje! Teraz ciąg dalszy tego zadania, podpunktu a) Niech X oznacza liczbę wylosowanych kul z numerami parzystymi. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancje zmiennej losowej.

	10 4
Losuje 4 kule z 10 więc |Ω| =		= 210

Kul z numerami nieparzystymi jest 5, więc:

	5 0		5 4		5		1
P(X=0) = (		*		) / 210 =		=
					210		42

bo losuje zero parzystych z pięciu oraz cztery nieparzyste z pięciu.

	5 1		5 3		50		10
P(X=1) = (		*		) / 210 =		=
					210		42

	5 2		5 2		100		20
P(X=2) = (		*		) / 210 =		=
					210		42

	5 3		5 1		50		10
P(X=3) = (		*		) / 210 =		=
					210		42

	5 4		5 0		5		1
P(X=4) = (		*		) / 210 =		=
					210		42

D²X = EX² − (EX)²

	10		20		10		1
EX = 1*		+ 2*		+ 3*		+ 4*		= 2
	42		42		42		42

	10		20		10		1		14
EX2 = 1*		+ 22*		+ 32*		+ 42*		=
	42		42		42		42		3

(EX)² = 2² = 4

	14
D2X =		− 4 ?
	3

Dziękuje Mila

Bartek: No ale coś mi nie pasuje bo D^X powinien być większy od zera..

Bartek:

	2
a nie,		wychodzi, jak ja licze..
	3

Wszystko dobrze?

Mila:

14		2
	=4
3		3

	2
D2X=
	3

Mila: Zmęczony już jesteś

Mila: Kiedy masz egzamin?

Bartek: owszem, jestem :c w czwartek rano, więc pozostał mi jeden dzień a jeszcze kilka zadań muszę przerobić, a np p−stwa geometrycznego jeszcze nie ruszałem, więc czasu mało.

Mila: Wytrwałości i jasnego umysłu życzę.

Bartek: Uff, czyli wychodzi na to że dobrze policzyłem. Jutro zapewne wrócę z dawką kolejnych zadań Dziękuje Mila, co ja bez Ciebie bym zrobił...