Całka Paweł: Witam, taka całeczka − nie mam pojęcia jak się do niej zabrać, jaką metodę stosować. ∫√x²+a²dx Poproszę o jakieś wskazówki

jc:

	x2
∫√x2+a2 dx = ∫x' √x2+a2 dz = x √x2+a2 − ∫		dx
	√x2+a2

	x2+a2−a/td>
=x √x2+a2 − ∫		dx=
	√x2+a2

	dx
x √x2+a2 − ∫√x2+a2dx + a2∫
	x2+a2

	1		dx
∫√x2+a2 dx =		(x √x2+a2 + a2∫		)
	2		x2+a2

	dx
∫		=ln(x+√x2+a2), sprawdź!
	x2+a2

jc: Sprawdziłem, tak właśnie jest.

Basia: przez części

	x
u = √x2+a2 u' =
	√x2+a2

v' = 1 v = x

	x2
J = x*√x2+a2 − ∫		dx
	√x2+a2

teraz

	x2+a2		x2		a2
J = ∫		dx = ∫		dx + ∫		dx
	√x2+a2		√x2+a2		√x2+a2

dodajesz równania stronami i masz

	a2
2J = x√x2+a2 + ∫		dx
	√x2+a2

tę ostatnią liczysz stosując pierwsze podstawienie Eulera

jc: W trzech mianownikach trzeba dopisać pierwiastek. W drugiej linii ma być x²+a²−a² (a nie coś tak dziwnego, jak jest napisane).

jc: Basiu, czasem łatwiej zapamiętać pojedynczy wynik, niż metodę, tym bardziej

	dx
że całka ∫		to po prostu funkcja odwrotna do sinh.
	√x2+1

Jak się pamięta, to potem nie trzeba nic liczyć. Wiem, uczniowie wolą pamiętać tabele sin, cos, tg (choć wartości dla wymaganych kątów widać na obrazku).

Basia: Zależy od wymagań. Jeżeli student ma tę całkę w "gotowcu" czyli wykazie całek (podobno) podstawowych może nie liczyć. Jeżeli nie ma to nie wiem czy gotowy wynik zostanie zaakceptowany.

jc: A jeśli student ucząc się pochodnych, różniczkował funkcję x→ln(x+√1+x²) i zapamiętał wynik? Gorzej, jak nie wie, co to funkcja pierwotna, a zna wynik.

Basia: Gorzej owszem, ale niestety takie są realia na niektórych kierunkach studiów. Uczy się schematów rachunkowych, a ignoruje zrozumienie pojęć.