układ 3 równań z 4 niewiadomymi Łukasz: Mam do rozwiązania układ 3 równań z 4 niewiadomymi: x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 2 2x1 + x2 − x3 +4x4 = 1 4x1 − x2 + 3x3 − 2x4 =5 metodą eliminacji Gausa doprowadziłem to do takiej postaci: 1 −1 2 −3 2 0 3 −5 10 −3 0 0 0 0 0 moje pytanie brzmi: − czy do dobrej postaci to doprowadziłem? − co z tym dalej zrobić jeśli tak ?

Blee:

⎧	1 −1 2 −3 | 2
⎨	2 1 −1 4 | 1
⎩	4 −1 3 −2 | 5

⎧	1 −1 2 −3 | 2
⎨	3 0 1 1 | 3
⎩	3 0 1 1 | 3

⎧	1 −1 2 −3 | 2
⎨	3 0 1 1 | 3
⎩	0 0 0 0 | 0

Blee: dobrze ... niewiadome uzależniasz od dwóch parametrów

jc: A może tak? 1 −1 2 −3 2 2 1 −1 4 1 3 0 1 1 3 2 1 −1 4 1 Przyjmij np. I, IV zmienną jako parametry, wylicz III zmienną, a z drugiego równania wylicz II niewiadomą.

Łukasz: czyli jest to układ równań oznaczony ?

Basia: ile rozwiązań ma oznaczony układ równań? a ile Twój?

Łukasz: oznaczony ma jedno a mój hmmm nieskończenie wiele ? szkopuł tkwi w tym, że muszę szybko zweryfikować czy taki układ jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny albo czy jest układem równań Cramera jak to w miarę sprawnie zrobić ? o czym pamiętać ? na co patrzeć ? w sobotę mam zaliczenie

Basia: Twój ma nieskończenie wiele; jest nieoznaczony Wzory Cramera możesz zastosować ⇔ gdy liczba niewiadomych=liczbie równań (czyli ⇔ masz macierze kwadratowe i możesz policzyć ich wyznaczniki) Przy takich układach jak ten tutaj najlepsza jest metoda Gausa−Jordana.

Łukasz: jest nieoznaczony bo ostatni wiersz to same zera ? 0=0

Basia: zasadniczo tak, ale układ z taką macierzą 1 0 0 || 1 0 1 1 || 2 też jest nieoznaczony, a żadnego wiersza tu nie wyzerujesz dostajesz z tego x=1 y+z=2 czyli masz nieskończenie wiele rozwiązań postaci (1; 2−z; z) gdzie z jest dowolne

Basia: Najprościej mówiąc: jeżeli po wyzerowaniu elementów pod przekątną w ostatnim niezerowym wierszu zostanie Ci więcej niż jedna liczba różna od 0 będziesz miał układ nieoznaczony

jc: A co z tym układem? x + y + z = 5 x + y + 3z=7

Basia: przecież tylko przy z zostanie Ci liczba niezerowa 1 1 1 || 5 0 0 2 || 2 z =2 x+y+2=5 x+y = 3 x dowolne y=3−x z=2 "ostatni" to nie całkiem fortunne określenie ale kolejnośc wierszy zawsze można zmienić

Basia: no i "pod" lub "nad" przekątną