Kryterium porównawcze Kaja:

	n
Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregu ∑{n=1}{∞}		.
	n2+1

Sushi: wskazówka

	1
∑
	n

Kaja:

	1		n
Właśnie 0<		<		nie jest prawdziwe dla n≥1.
	n		n2+1

Kaja: Wiem jak uzasadnić rozbieżność tego szeregu z kryterium ilorazowego (ilorazowo−porównawczego; porównawczego granicznego czy jak zwał tak zwał) oraz całkowego, ale właśnie nie wiem jak ograniczyć ten ciąg z dołu, aby uzasadnić rozbieżność z kryterium porównawczego klasycznego.

Pytający:

	1
Porównaj do ∑		.
	2n

Adamm: porównawcze graniczne ma swoją nazwę, stąd że bazuje ono na porównawczym dla dowolnego ε>0 istnieje takie N, że

	n		1		n
(1−ε)		≤		≤(1+ε)		dla n≥N
	n2+1		n		n2+1

	n		1
stąd wynika że szereg ∑		jest zbieżny ⇔ ∑		jest zbieżny
	n2+1		n

i takie to proste nie wiem co to za awersja, to właściwie to samo

Kaja: Dziękuję. Ze wszystkimi innymi kryteriami sobie radze i tylko z tym mam problemy. Zupełnie nie widzę tych ciągów. Czy masz może jakieś praktyczne rady odnośnie tego kryterium?

Kaja:

	1		n
Moim zdaniem nie to samo, ponieważ nierówność 0<		<		nie jest prawdziwa.
	n		n2+n

Natomiast korzystając z kryterium ilorazowego bardzo łatwo jest pokazać, że

	an		n		1
lim(n−>inf)		=1∊(0;inf), gdzie an=		oraz bn=		z czego wynika. że
	bn		n2+1		n

	1
wyjściowy szereg jest rozbieżny, ponieważ ∑		jest rozbieżny.
	n

Awersja do kryterium porównawczego wynika może z tego, że zupełnie nie wiem jak dobierać te ciągi. W ilorazowym łatwo jest obliczyć (nawet w pamięci) czy dla wybranego ciągu granica będzie mieścić się w przedziale (0;+inf). A w porównawczym? Czy dobieranie tych ciagów wynika tylko z doświadczenia czy może są jakieś zasady?

Sushi: A po co się do takiego pchac

Kaja: Czemu korzystać z porównawczego? Na kolokwium może się zdarzyć, że polecenie nie będzie: "zbadaj zbieżność szeregu", ale "zbadaj zbieżność szeregu z kryterium porównawczego". I co wtedy? Z ilorazowego szybko określę, że jest rozbieżny. Zrobię nierówność

	1		n		1		n
0<		<		i tu zonk nieprawda. No to przyszło mi do głowy 0<		<		.
	n		n2+n		√n		n2+n

To również jest nieprawda. To jak dobierać te ciągi? Pytający jak wpadłeś na to, że akurat

	1
		będzie pasować?
	2n

Sushi: Stosujesz metodę „zasłaniania” zbędnych wyrazów

3n+7		3n		3
	—>		=
n4+n2−5		n4		n3

Sushi: I wtedy masz do granicznego porównawczego A jak chcesz do porównawczego to musisz kombinować z domnozeniem jakiejś liczby

Kaja: Hmmm... Ok spróbuję. Dziękuję.

jc: No to spróbuj zbadać taki szereg:

	ln n
∑
	n√n

Kaja: Nie wiem

Kaja: Tzn. jeśli szereg jest od n=2 to na mocy kryterium całkowego jest zbieżny. Jak porównawcze? Myślałam, że to będzie prosta sprawa, bo lnn≤√n, ale ograniczenie

	lnn		√n		√n		1
0≤		≤		nic nam nie daje, bo		=		.
	n√n		n√n		n√n		n

jc: Pisz spacej pomiędzy ln a n bo wszystko się zlewa i matematyk staje się jeszcze trudniejsza. ln x ≤ x−1 < x ln n^1/3 < n^1/3 ln n < 3 n^1/3

ln n		3		3
	<		=
n3/2		n3/2−1/3		n7/6

Kaja: Super! Bardzo dziękuję za ciekawy przykład! Nie wiem czy sama bym na to wpadła. Osobiście bardziej czytelnie dla mnie jest lnn niż ln n, ale mi tam obojętnie. Mogę pisać ln n, jeśli tak jest przyjęte na forum. Mogę prosić o jeszcze jakiś przykład?

jc:

	3n+5n
∑		?
	2n+7n

Kaja:

	3n+5n		3n+5n		3		5
0≤		≤		=(		)n+(		)n
	2n+7n		7n		7		7

Otrzymaliśmy sumę szeregów geometrycznych zbieżnych (|q|<1), zatem wyjściowy szereg jest zbieżny.

Adamm: Nie to samo, bo nie rozumiesz tego kryterium. Wszystko da się przetłumaczyć z ilorazowego na porównawcze, tak jak ja to zrobiłem

Kaja: Chodzi mi o to, że porównawcze w zastosowaniu nie jest takie łatwe (przynajmniej dla mnie) jak ilorazowe. Nie będę ukrywać, że faktycznie nie rozumiem co napisałeś w poprzednim poście. Sądzę, że może to wynikać z braków z teorii granic ciągów. Pomimo, że czytałam mnóstwo razy temat z granic (również zrobiłam sporo przykładów) nadal to do mnie nie dociera. Bardzo chciałabym to nadrobić, ponieważ braki w teorii granic odbijają się też w pochodnych i całkach. Od czego zacząć? Mam Skoczylasa wszystkie serie i Krysickiego Analizę. Czytałam też o granicach w książce "Tajemnicza liczba e..." B. Miś, ale to nadal nie jest tak jak to powinno być.

Adamm: To po prostu definicja granicy Ciąg a_n ma granicę g, gdy dla dowolnego ε>0, istnieje takie N, że dla każdego n>N mamy |a_n−g|<ε

jc: Rozwiązanie oczywiście w porządku. Jasne, że na ogół łatwiej stosować kryterium ilorazowe niż porównawcze, jednak porównawcze daje więcej − pozwala porównać wartości szeregów.

	1		1
Porównanie szeregów ∑		, ∑		(n ≥ 1) pozwala oszacować
	n2		n(n+1

pierwszy szereg. Spróbuj. Podobała mi się książka Misia, przy okazji, kiedyś na yt można było posłuchać krótkich wykładów.