dys Anis: rozwiąż rekurencje : a(1)=2, a(2)=1, a(n+2)=4a(n+1)−4a(2)

Blee: Masz jakis egzamin teraz?

Anis: nie, to zadania z egzaminu na którym nie bylam

Pytający: Zgaduję, że w treści jest błąd, bo: a_n+2=4a_n+1−4a₂, a₂=1 jest równoznaczne z: a_n+1=4a_n−4 i raczej tak by zapisano taką rekurencję. Jeśli: a₁=2 a₂=1 a_n+2=4a_n+1−4a_n wtedy równanie charakterystyczne to: r²=4r−4 (r−2)²=0 zatem rozwiązanie jest postaci: a_n=(A+Bn)2ⁿ a₁=2=(A+B)2¹ ⇒ A=1−B a₂=1=(A+2B)2² ⇒ B=−3/4 ⇒ A=7/4 a_n=(7/4−3n/4)2ⁿ=(7−3n)2ⁿ⁻²

Mariusz: Albo bez zgadywania stosując funkcję tworzącą a(1)=2, a(2)=1, a(n+2)=4a(n+1)−4a(n) A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞4a_n−1xⁿ−∑_n=3^∞4a_n−2xⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ−2x−x²=4x(∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹)−4x²(∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=1^∞a_nxⁿ−2x−x²=4x(∑_n=2^∞4a_nxⁿ)−4x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ) ∑_n=1^∞a_nxⁿ−2x−x²=4x(∑_n=1^∞4a_nxⁿ−2x)−4x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ) A(x)−2x−x²=4x(A(x)−2x)−4x²A(x) A(x)−4xA(x)+4x²A(x)=−8x²+x²+2x A(x)(1−2x)²=−7x²+2x

	−7x2+2x
A(x)=
	(1−2x)2

	2x
∑n=1∞(2x)n=
	(1−2x)

d		d		2x
	(∑n=1∞(2x)n)=		(		)
dx		dx		(1−2x)

	2(1−2x)−(−2)(2x)
2+∑n=2∞n2nxn−1=
	(1−2x)2

	2(1−2x+2x)
2+∑n=1∞(n+1)2n+1xn=
	(1−2x)2

	2
∑n=1∞(n+1)2n+1xn=−2+
	(1−2x)2

	1
∑n=1∞(n+1)2nxn=−1+
	(1−2x)2

	4x−4x2
∑n=1∞(n+1)2nxn=
	(1−2x)2

A(4x−4x²)+2Bx(1−2x)=−7x²+2x 4A+2B=2 −4A−4B=−7 −2B=−5

	5
B=
	2

4A+5=2 4A=−3

	3
A=−
	4

	3	4x−4x2		5	2x(1−2x)
−			+
	4	(1−2x)2		2	(1−2x)2

	3		5
−		(∑n=1∞(n+1)2nxn)+		(∑n=1∞2nxn)
	4		2

	3		5
an=−		(n+1)2n+		2n
	4		2

	3		10
an=−		(n+1)2n+		2n
	4		4

	1
an=−		(3n−7)2n
	4