Równania rózniczkowe 1 rzędu Ja to ja:

dy		x2+y2
	=
dx		2xy

Rozwiązać równania różniczkowe 1 rzędu sprozwadzając do równań o rozdzielonych zmiennych

Jerzy: Czy aby taka jest treść zadania ?

Jerzy:

	y
To jest równanie niejednorone typu: y' = f(		)
	x

Ja to ja: Czy to jest dobrze

x2

y2

x

y

1

y

P=

+

=

+

=

+

2xy

2xy

2y

2x

2y   x

2x

	y
Podstawienie t=
	x

tx=y

	y
tdx=
	dx

Coś mam tutaj źle na pewno

Jerzy: Prawie. y = tx y' = t + t'x

Ja to ja: Aaa dobra dzięki pochodna iloczynu..

Ja to ja: dochodze do czegoś takiego

	dt		1
t+		*x=		//*dx
	dx		t

	1
tdx +dt*x=		dx
	t

	1
(		−t)*dx=dt*x
	t

dx		dt
	=
x		1   − t t

	t2
ln|x|=		− ln|t| + C // e(.)
	2

|x| = e^t2/2*e^C − t // c₁=e^C, c₁>0 x=+/− c₁*e^t2/2 − t c₂=+/− c₁ x=c₂*e^t2/2 − t nie wiem co dalej

Jerzy: t = y/x

Ja to ja:

	y
x=c2*ey2/2x2−
	x

Odpowiedź to: x²−y²−Cx=0

jc: Rozpoznajesz pochodną ilorazu?

	2xyy' − y2		y2
1=		= (		)'
	x2		x

	y2
x+C=
	x

y²=x²+Cx

jc:

	f		f'g−fg'
Przypomnę wzór: (		)' =		,
	g		g2

	f		f'x−f
w szczególności: (		)' =		, u nas f=y2, f' =2yy'.
	x		x2

Ja to ja: Jaka pochodna ilorazu w, którym miejscu? Skąd u Ciebie powstało równanie

	2xyy'−y2
1=
	x2

jc: y' = (x²+y²)/2xy 2xyy' = x²+y² 2xyy' − y² = x²

2xyy' − y2
	=1
x2

jc: Można było tak, jak zacząłeś. y=xu y'=xu' + u = (u+1/u)/2 xu' = (1/u − u)/2 2xuu' + u² = 1 (xu²)' = 1 = (x)' xu² = C+x y²=(xu)²=Cx+x² Użyłem litery u zamiast t. Litera te kojarzy się za mocno ze zmienną niezależną.

jc: To rodzina hiperbol (x+c/2)² − y² = c²/4

Ja to ja: Skąd się wzięło to w 5 linijce (xu²)'=1=(x)'

jc: Zwykłe różniczkowanie. Lewa strona jest pochodną xu², a prawa strona pochodną x.

Ja to ja: No dobra już to widzę, ale czy jest jakiś prostszy sposób do zauważenia tego?

jc: Możesz powtarzać typową procedurę, czyli liczenie całek

	2udu		dx
∫		= −∫
	u2−1		x

ln|u²−1| = −ln|x| + C u²−1= −Kx y²/x² − 1 = − Kx y² − x² + Kx = 0 Ale czy to jest prościej? Nie lubię tej metody, bo trzeba uważać pozbywając się logarytmów i modułów.