funkcja tworząca Andrzej B: Witam, czy ktoś jest w stanie pomóc z funkcją tworzącą? Dany jest ciąg rekurencyjny (an), w którym a₀ = 2, a₁ = 5 i a_n = 5a_n−1 − 6a_n−2 + 2 dla n ­≥ 2 . Za pomocą funkcji tworzącej wyznaczyć jawny wzór na n−ty wyraz ciągu

Mila: Piszę.

Mila: a_n = 5a_n−1 − 6a_n−2 + 2 dla n ­≥ 2 A(x)=∑(n=0 do ∞)a_n*xⁿ=a₀+a₁*x+∑(n=2 do ∞)a_nx_n= =2+5x+5∑(n=2 do ∞)a_n−1xⁿ−6*∑(n=2 do ∞)a_n−2*xⁿ+2∑(n=2 do ∞)xⁿ= =2+5x+5x*∑(n=2 do ∞)a_n−1xⁿ⁻¹−6x²*∑(n=2 do ∞)a_n−2*xⁿ⁻²+2x²∑(n=2 do ∞)xⁿ⁻²=

	2x2
=2+5x+5x*∑(n=1 do ∞)anxn−6x2∑(n=0 do ∞)an+		⇔
	1−x

	2x2
A(x)=2+5x+5x*(A(x)−2)−6x2*A(x)+		⇔
	1−x

	2x2
A(x)−5x*A(x)+6x2A(x)=2+5x+
	1−x

	2x2
A(x)*(1−5x+6x2)=2+5x+
	1−x

	7x2−7x+2
A(x)*(2x−1)*(3x−1)=
	(1−x)

	7x2−7x+2
A(x)=
	(2x−1)*(3x−1)*(1−x)

7x2−7x+2		A		B		C
	=		+		+		= ułamki proste
(2x−1)*(3x−1)*(1−x)		2x−1		3x−1		1−x

spróbuj to sam zrobić ( sprawdzić)

	1		2		1
=		−		+		=
	2x−1		3x−1		1−x

	−1		2
=		+		+U{1−x}⇔
	1−2x		1−3x

a_n=−2ⁿ+2*3ⁿ+1 ====================

Andrzej B: Mila, dziękuję ślicznie

Mila: Powodzenia.