Oblicz całkę Jarek: sin⁴x dx Ktoś pomoże?

Benny:

	1−cos2x
(sin2x)2=(		)2 i później podobny myk z cos22x
	2

Mila: Przekształcenie: cos(2x)=cos²x−sin²x=1−sin²x

	1
sin2x=		*(cos2x−1)
	2

	1
sin4x=		(cos2(2x)−2cos(2x)−1)
	4

=============================

	1		1		1
∫sin4x dx=		∫ (cos2(2x)dx −		cos(2x)dx−		∫1dx=...
	4		2		4

teraz dasz radę?

Jarek: Dam radę już Dzięki

Mila:

Mariusz: Można też przez części ∫sinⁿ(x)dx=∫sin(x)sinⁿ⁻¹(x)dx ∫sinⁿ(x)dx=−cos(x)sinⁿ⁻¹(x)−∫(−cos(x))(n−1)sinⁿ⁻²(x)cos(x)dx ∫sinⁿ(x)dx=−cos(x)sinⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫sinⁿ⁻²(x)cos²(x)dx ∫sinⁿ(x)dx=−cos(x)sinⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫sinⁿ⁻²(x)(1−sin²(x))dx ∫sinⁿ(x)dx=−cos(x)sinⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫sinⁿ⁻²(x)dx−(n−1)∫sinⁿ(x)dx n∫sinⁿ(x)dx=−cos(x)sinⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫sinⁿ⁻²(x)dx

	1		n−1
∫sinn(x)dx=−		cos(x)sinn−1(x)+		∫sinn−2(x)dx
	n		n

	1		3
I4=−		cos(x)sin3(x)+		I2
	4		4

	1		1
I2=−		cos(x)sin(x)+		I0
	2		2

	1		3		3
I4=−		cos(x)sin3(x)−		cos(x)sin(x)+		x+C
	4		8		8

albo przez podstawienie t=tg(x)

	sin2(x)		tg2(x)
sin2(x)=		=
	cos2(x)+sin2(x)		1+tg2(x)

	cos2(x)		1
cos2(x)=		=
	cos2(x)+sin2(x)		1+tg2(x)

	1
∫sin4(x)dx=∫sin4(x)cos2(x)		dx
	cos2(x)

	t4	1
∫			dt
	(1+t2)2	1+t2

	t4
∫		dt
	(1+t2)3

	t4		a3t3+a2t2+a1t+a0		b1t+b0
∫		dt=		+∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2