jak obliczyć całkę karo: ∫sqrt(1+1/x)dx czy mógłby ktoś to rozwiązać krok po kroku bo nie ogarniam

Jerzy:

	1		du
Pierwsze podstawienie: u =		proweadzi do całki: − ∫
	x		u2√1+u

	dz
Teraz podstawienie: z = √1 + u prowadzi do: − 2∫		i rozkład na ułamki proste.
	(z2−1)2

karo: można by prosić rozwinięcie podstawienia bo za nic w świecie nie jestem w stanie jak w tym przykładzie podstawić robię tak t=1/x dt=(−1/x²)dx i dalej nie wiem co z tym zrobić nawet

jc: Chyba raczej:

	√1+u
... = −∫		du
	u2

Podstawiłbym 1+1/x=t². Wynik całkowania √x √1 + x + ln( √x + √1 + x).

Jerzy:

	1		dt
I dobrze , dalej: dx = − x2dt = −		dt , czyli mamy: − ∫
	t2		t2√1+t

jc: No to policzę dalej.

	1
t2= 1+
	x

	1
x=
	t2−1

	1		t		1
całka = ∫t (		)' dt =		− ∫		dt
	t2−1		t1−1		t2−1

1		1		1		1
	=		(		−		)
t2−1		2		t−1		t+1

Podstawowe całki, wracasz do x i masz wynik.

Jerzy:

	dx
Oczywiście, mój błąd .... liczyłem całkę: ∫
	√1 + 1/x

jc: Jerzy, jakiś błąd robisz na początku.

Jerzy: Tak, tak ...zauważyłem,że liczę nie tą całkę

Mariusz: ∫√1+1/xdx

	1
√1+1/x=t−
	√x

	1		1		1
1+		= t2−2t		+
	x		√x		x

	1
1 = t2−2t
	√x

	1
2t		= t2 − 1
	√x

1		t2−1
	=
√x		2t

	2t
√x =
	t2−1

	4t2
x =
	(t2−1)2

	8t(t2−1)2−4t2(t2−1)4t
dx =		dt
	(t2−1)4

	8t(t2−1−2t2)
dx =		dt
	(t2−1)3

	8t3+8t
dx = −
	(t2−1)3

	t2−1		2t2−t2+1
√1+1/x=(t−		)=
	2t		2t

	t2+1
√1+1/x=
	2t

	t2+1	−8t(t2+1)
∫			dt
	2t	(t2−1)3

	−4(t2+1)2
∫		dt
	(t2−1)3