... Agata: Zbiór U={(0,0,0),(1,1,1)} jest podprzestrzenią przestrzeni Z₂³. 1) Sprawdzić, czy wektory (warstwy) (1,0,0)+U , (0,1,1)+U są liniowo niezależnymi wektorami przestrzeni Z₂³. (1,0,0)+U={[1 0 0],[0,1,1]}=W₁ (0,1,1+U={[0 1 1],[1 0 0]}=W₁ Z tego wynika, że są liniowo zależne? L((1,0,0)+U)+B((0,1,1)+U)=U ((L,0,0)+U)+((0,B,B)+U)=U ((L,B,B)+U)=U Co dalej z tym? I w końcu odpowiedź − tak czy nie? 2) Uzasadnić, ze lin((1,0,0)+U, (1,1,0)+U)=Z₂³/U. Czy układ wektorów ((1,0,0)+U, (1,1,0)+U) jest baza przestrzeni Z₂³? lin(W₁,W₃)={U,W₁,W₂,W₃} W₂=L*W₁+B*W₃ (?) Proszę o pomoc, to na zaliczenie!

jc: U={(0,0,0), (1,1,1)} A = (1,0,0)+U = {(1,0,0), (0,1,1)} B= (0,1,1)+U = {(0,1,1), (1,0,0)} = A Wektory (warstwy) A, B są równe, a więc są liniowo zależne w przestrzeni Z₃/U. Wektor A≠0 rozpina jednowymiarową podprzestrzeń przestrzeni Z₃/U. lin{ A} = {U, A} = { {(0,0,0), (1,1,1}}, {(1,0,0), (0,1,1)} } Wypiszmy jeszcze Z₃/U={ U, (1,0,0) + U, (0,1,0)+U, (0,0,1)+U} ={ {(0,0,0), (1,1,1}} {(1,0,0), (0,1,1}} {(0,1,0), (1,0,1}} {(0,0,1), (1,1,0}} } Przykładowa baza Z₃/U: (1,0,0)+U, (0,0,1)+U. [(1,0,0)+U] + [(0,0,1)+U] = (1,1,0)+U=(0,0,1)+U Wektory (1,0,0)+U, (0,0,1)+U są liniowo niezależne Mamy tylko 3 niezerowe kombinacje liniowe i żadna z nich nie daje U.