Całka nieoznaczona xy": Siemanko, prosta sprawa potrzebuję pomocy jak sobie poradzić z całką nieoznaczoną

	1
∫
	4cosx−3sinx

Najbardziej mi zależy na tym jak sobie poradzić z mianownikiem, co z nim zrobić?

Adamm:

1		1		1		1		1
	=		*		=		*		=
4cosx−3sinx		5		(4/5)cosx−(3/5)sinx		5		cos(x+α)

1		cos(x+α)
	*
5		1−sin2(x+α)

u=sin(x+α) du=cos(x+α)dx

	1		1		1		1		1		1
∫		dx =		∫		du =		∫ (		+		)du =
	4cosx−3sin		5		1−u2		10		1−u		1+u

1		1		1		1
	ln|1−u|+		ln|1+u|+C =		ln|1−sin(x+α)|+		ln|1+sin(x+α)|+C
10		10		10		10

α to kąt dla którego cosα=4/5, czyli arccos(4/5)

Mariusz: Korzystając z podstawień Eulera można znaleźć pasujące podstawienie cos²(x)=1−sin²(x) cos²(x)=(1−sin(x))(1+sin(x)) cos(x)=(1−sin(x))t // To podstawienie przypomina trzecie podstawienie Eulera cos²(x)=(1−sin(x))²t² (1−sin(x))(1+sin(x))=(1−sin(x))²t² 1+sin(x)=(1−sin(x))t² 1+sin(x)=t²−t²sin(x) sin(x)+t²sin(x)=t²−1 sin(x)(t²+1)=t²−1

	t2−1
sin(x)=
	t2+1

	2t(t2+1)−2t(t2−1)
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

	2t	2
cos(x)dx=			dt
	t2+1	1+t2

	t2−1
cos(x)=(1−		)t
	t2+1

	(t2+1−t2+1)t
cos(x)=
	t2+1

	2t
cos(x)=
	t2+1

2t		2t	2
	dx=			dt
t2+1		t2+1	1+t2

	2
dx =		dt
	1+t2

	8t−3t2+3
4cos(x)−3sin(x)=
	t2+1

	t2+1	2
−∫			dt
	3t2−8t−3	t2+1

	−2
∫		dt
	3t2−8t−3

	−2
∫		dt
	(3t+1)(t−3)

1		3(t−3)−(3t+1)
	∫
5		(3t+1)(t−3)

1		3		1		1
	∫		dt−		∫		dt
5		3t+1		5		t−3

	1		1
=		ln|3t+1|−		ln|t−3|+C
	5		5

	1		3t+1
=		ln|		|+C
	5		t−3