Rozwiąż równanie różniczkowe niejednorodne Patryk: Rozwiąż równanie różniczkowe niejednorodne: y'−3y=x² metodą przewidywań, przy warunku: y(0)=10

Mila: (*) y'−3y=x² 1) Rozwiązujemy równanie jednorodne: y⁽¹⁾(x):

dy
	−3y=0
dx

dy
	=3y
dx

dy
	=3dx
y

	dy
∫		=∫3dx
	y

ln|y|=3x+C y=e^3x+C⇔y⁽¹⁾(x)=C₁*e^3x 2) Rozwiazanie szczególne przewidujemy w postaci: y^s(x)=Ax²+Bx+C a) Obliczamy pochodną y'^s(x)=2Ax+B podstawiamy do (*) 2Ax+B−3(Ax²+Bx+C)=x² 2Ax+B−3Ax²−3Bx−3C=x² porządkujemy lewą stronę −3Ax²+x*(2A−3B)+(B−3C)=x² porównanie wsp. −3A=1 2A−3B=0 B−3C=0 stąd

	1		2		2
A=−		, B=−		,C=−
	3		9		27

	1		2		2
ys(x)=−		x2−		x−
	3		9		27

========================== 3) Rzwiązanie ogólne:

	1		2		2
y(x)=C1*e3x−		x2−		x−
	3		9		27

y(0)=10

	2
10=C1*e0−0−0−
	27

	2
10+		=C1
	27

	272
C1=
	27

	272		1		2		2
y(x)=		e3x−		x2−		x−
	27		3		9		27

============================