.. Kartka : Rozwiąż równanie różniczkowe jednorodne drugiego rzędu: 3y''+5y'+2y=0 przy warunkach: y(0)=0, y'(0)=2

Jerzy: Podstaw: y' = u, wtedy: y" = u*u' i dostaniesz równanie pierwszego stopnia o zmiennych rozdzielonych.

Lech Lechman: Lub rownonie charakterystyczne : 3r² + 5r + 2 = 0 Δ = 25− 24 =1 , r₁ = −1 , r₂ = −2/3 Czyli : y = C₁*e^−1x+ C₂*e^−2x/3

jc: Jerzy, wypadałoby zaznaczyć, że u=u(y), inaczej to ma niewiele sensu. Gdyby u=u(x), to mielibyśmy po prostu y''=u'. Wg Twojej sugestii 3uu' + 5u + 2y=0 i co dalej?

Jerzy: Fakt, zmiennych nie rozdzieli, ale po podzieleniu obustronnie przez 3u , mozna to równanie sprowadzić do równania jednorodnego

jc: u = ay podstawienie daje tylko 2 wybrane równania, a oczekujemy nieskończonej rodziny; jak to zrobić bez żmudnego liczenia? u' = a 3a² y + 5 ay + 2 y = 0 3a² + 5a + 2 = 0 a=−1 lub a=... y' = u = ay y = Ce^ax = Ce^−x lub y = ... Ale nie mamy sumy ...

Benny: 3s²L[y]−6+5sL[y]+2L[y]=0

	6
L[y]=
	3s2+5s+2

	6
L[y]=
	2   3(s+1)(s+ )   3

	−6		6
L[y]=		+
	s+1		2   s+   3

y=−6e^−t+6e^−2t/3