Oblicz pochodną cząstkową z definicji abcdef: Oblicz pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = ³√x³y z definicji w punktach (0, 0), (0,a) i (a,0)

Basia: zapisz sobie f(x,y) = (x³*y)^1/3 = x*y^1/3

df
	= y1/3 = 3√y
dx

df		1		x
	= x*		*y−2/3 =
dy		3		33√y2

abcdef:

	0
Pochodne trzeba policzyć z definicji. Dla np (0, 0) wychodzi mi lim h→0		− jak mam
	h

dowieść, że pochodnej w tym punkcie nie ma?

Basia: z definicji:

df		f(0+h,y)−f(0,y)		h*y1/3−0
	(0,y)limh→0		= limh→0		=
dx		h		h

lim_h→0 y^1/3 = y^1/3 czyli

df
	(0,0) = 0
dx

df
	(0,a) = 3√a
dx

df
	(a,0) = 0
dx

df
	(0,0) nie istnieje
dy

jeżeli pójdziesz po krzywej y=x³ doatniesz f(x,y) = x² →0

	1
a jeżeli pójdziesz po krzywej y=		dostaniesz f(x,y)=1 → 1
	x3

Basia:

df		f(k,a+h)−f(0,a)		k*(a+h)1/3−0
	(0,a) = limh,k→0		= limh→0		=
dy		h		h

	k		k		0
limk,h→0		= limk,h→0		=		=0
	(a+h)−2/3		3√(a+h)2		3√a2

	df
analogicznie liczysz		(a,0) dla a≠0 ale tam Ci wyjdzie +∞ lub −∞
	dy

w zależności od znaku a czyli ta pochodna też nie istnieje

Basia: oj to ostatnie nie jest całkiem poprawne

abcdef: "df analogicznie liczysz (a,0) dla a≠0 ale tam Ci wyjdzie +∞ lub −∞ dy w zależności od znaku a czyli ta pochodna też nie istniej"

	0
Ok, a jak mam pochodną cząstkową typu lim h→0		to czy wystarczy napisać, że pochodna
	h

cząstkowa w tym punkcie nie istnieje, czy trzeba to jakoś argumentować?

Basia: w p−cie (0,a)

df		f(x,a+h)−f(x,a)
	(x,a) = limh→0		=
dy		h

	x*(a+h)1/3 − x*a1/3
limh→0		=
	h

	(a+h−a
x*limh→0		=
	h((a+h)2/3+(a(a+h))1/3+a2/3

	0
x*
	0+a2/3+a2/3

więc dla a≠0 ta granica istnieje i niezależnie od x jest równa 0

	df
czyli		(0,a)=0
	dy

w p−cie (a,0)

df		f(a,h)−f(a,0)		a*h1/3−0
	(x,0) = limh→0		= limh→0		=
dy		h		h

	a
limh→0
	h2/3

dla a≠0 ta granica istnieje, ale dla a>0 jest równa +∞ a dla a<0 jest równa −∞ pochodna w punkcie jeżeli istnieje ma wartość skończoną

	df
czyli		(a,0) nie istnieje
	dy

Adamm:

	(x+h)3√y−x3√y
fx(x, y)=limh→0		= limh→0 3√y = 3√y
	h

	x3√y+h−x3√y
fy(x, y)=limh→0		=
	h

	1		x
x limh→0		=		dla y≠0
	3√(y+h)2+3√y+h3√y+3√y2		33√y2

	x
fy(x, 0)=limh→0		= ∞ dla y≠0, 0 dla y=0
	3√h2

Adamm: no tak, znaki w każdym razie pochodna nie istnieje

abcdef: Basiu,

	1		1
W 3 i 4 linijce poprzedniego postu następuje przejście z x*(a + h)		− x*a		na
	3		3

a + h − a Jak to zostało zrobione?

Basia: z wzorów skroconego mnożenia x przed nawias x*[ (a+h)^1/3 − a^1/3 ] podstaw sobie b = (a+h)^1/3 c=a^1/3 b³−c³ = (b−c)(b²+bc+c²} czyli

	b3−c3
b−c =
	b2+bc+c2

czyli

	a+h−a
(a+h)1/3 − a1/3 =
	(a+h)2/3+(a+h)1/3*a1/3+a2/3

abcdef: dziękuję

Basia: i tam jest błąd bo to się równa

	h
x*		=
	h*[(a+h)2/3+(a+h)1/3*a1/3+a2/3]

	1		1		x
x*		→ x*		=
	(a+h)2/3+(a+h)1/3*a1/3+a2/3		3a2/3		3a2/3

	0
w p−cie (0,a) nie zmieni to wyniku bo mamy		= 0
	3a2/3

abcdef: Dziękuję za pomoc. Trafiłem na kolokwium podobne zadanie i dzięki Twoim poradom udało mi się je rozwiązać