Ekstremum warunkowe Ja: Zbadaj ekstrema warunkowe funkcji f = x+y+z przy warunku G = x²+y²+z²−1=0 (mnożnikami Lagrange'a))

jc: (x+y+z)² ≤ 3(x²+y²+z²), równość mamy dla x=y=z=±1/√3. (maximum/minimum). Ale oczywiście można z mnożnikami: 1=2kx 1=2ky 1=2kz x²+y²+z²=1 3=4k²(x²+y²+z²)=4k² k=√3/2 x=y=z=±1/√3 Rozmowę o zastosowaniu mnożników Lagrange można znaleźć w filmie Zanussiego (Constans, jak mi się wydaje, film mi się nie podoba).

Basia: F(x,y,z,α) = x+y+z+αx²+αy²+αz²−α

dF
	= 1+2αx
dx

dF
	= 1+2αy
dy

dF
	= 1+2αz
dz

i rozwiązujesz układ równań 1+2αx=0 1+2αy=0 1+2αz=0 x²+y²+z²−1=0 przy założeniu, że x,y,z ≠ 0 z pierwszych trzech wynika, że x=y=z i masz 3x²−1=0 (√3x−1)(√3x+1)=0 x= √3 lub x=−√3 czyli ekstrema pożesz mieć tylko w punktach: A=(√3,√3,√3) i B(−√3,−√3, −√3) ponieważ funkcja G opisuje okrąg, który jest zbiorem ograniczonym i domkniętym na mocy tw. Weierstrasa funkcja osiaga w tych punktach ekstrema warunkowe f(√3,√3,√3)=3√3>0 czyli tu masz maksimum warunkowe f(−√3,−√3,−√3) = −3√3<0 czyli tu masz minimum warunkowe