f.tworząca Robert: (1+x+x²+x³)⁴ (1+x+x²+x³+x⁴+x⁵)⁶=(^1−x4_1−x)⁴ * (^1−x6_1−x)⁶ doszedłem do tego momentu i nie wiem co dalej jak to rozbić jakimi metodami mógłby mi ktos pokazac krok po kroku i najlepiej nazwe metody jak to rozbijac dalej?

PW: Ale co chcesz "rozbijać dalej"? Na razie wykonałeś pewne oczywiste operacje na wielomianach. Czemu to służy (jaka jest treść zadania)?

Robert: Wyznacz f. tworzącą liczby rozmieszczeń kul do 10 szufladek takich że w 1−4 sa niewiecej niz 3kule w 5−10 niewiecej niz 5kul. Podac liczbe takich rozmieszczen dla 10kul

Mila: Liczba rozmieszczeń 10 kul w 10 szufladkach= współczynnikowi przy x¹⁰ 68422 Jednak trudno obliczyć na piechotę, wolfram tak pokazuje. II sposób Liczba rozwiązań równania z podanymi ograniczeniami: x₁+x₂+....+x₁₀=10 gdzie: 0≤x_i≤3 dla i∊{1,2,3,4}, x_i∊N i 0≤x_i≤5 dla i∊{5,6,7,8,9,10}, x_i∊N 1) ograniczenie dolne

10+10−1 10		19 10
	=

2) ograniczenie górne− zdarzenie przeciwne x_i≥4 dla i∊{1,2,3,4} A₁: x₁≥4 x₁+x₂+....+x₁₀=10−4

	6+10−1 6		15 6
|A1|=		=		=|A2|=|A3|=|A4|

A_i∩A_j: i≠j x₁+x₂+...+x₁₀=10−2*4

	2+10−1 2		11 2
|Ai∩Aj|=		=		=55

przecięcie trzech zbiorów jest zbiorem pustym 3) x_i≥6, i∊{5,6,7,8,9,10} A₅: x₅≥6 x₁+x₂+...+x₁₀=10−6

	4+10−1 4		13 4
|A5|=		=		=715

|A₅|=|a₆|=....=|A₁₀ przecięcie dwóch zbiorów jest zbiorem pustym 4) przecięcie A₁, A₅ x₁+x₂+...+x₁₀=10−4−6

	0+10−1 0
|A1∩A5|=		=1

================ Liczba rozwiązań:

19 9		15 9		13 4		4 2		11 2
	−(4*		+6*		−		*		−4*6*1)=

=92378−(4*5005+6*715−6*55−24)=68422 ==================================== Teraz trzeba pomyśleć jak inaczej to zakodować jednym wzorem korzystając z funkcji tworzącej. Było coś na ćwiczeniach?

Pytający: Funkcję tworzącą już wyznaczyłeś:

	(1−x4)4(1−x6)6
F(x)=∑n=0∞(fnxn)=		.
	(1−x)10

Niżej skorzystałem z:

	n k
• (a+b)n=∑k=0n(		an−kbk)

	1		n+k n
•		=∑n=0∞(		xn)
	(1−ax)k+1

Żeby obliczyć f₁₀ nieco rozpiszmy F(x):

	1
F(x)=(1−x4)4*(1−x6)6*		=
	(1−x)10

	4 n		6 n		n+9 n
=(∑n=04(		*(−x4)n))*(∑n=06(		*(−x6)n))*(∑n=0∞(		*xn))=

	4 i	6 j		n+9 n
=(∑i=04(∑j=06(			*(−1)i+j*x4i+6j)))*(∑n=0∞(		*xn))

Należy zsumować współczynniki przy x¹⁰. Kiedy w tym iloczynie wykładnik przy x jest równy 10? Ano gdy: 4i+6j+n=10, 0≤i≤4, 0≤j≤6, 0≤n Wszystkie możliwe przypadki: • n=0, i=1, j=1 • n=2, i=2, j=0 • n=4, i=0, j=1 • n=6, i=1, j=0 • n=10, i=0, j=0 Stąd szukany współczynnik przy x¹⁰ to:

	4 1	6 1	9 9
f10=(−1)1+1				+

	4 2	6 0	11 9
+(−1)2+0				+

	4 0	6 1	13 9
+(−1)0+1				+

	4 1	6 0	15 9
+(−1)1+0				+

	4 0	0 1	19 9
+(−1)0+0				=

=68422 https://www.wolframalpha.com/input/?i=24binomial(9,9)%2B6binomial(11,9)-6binomial(13,9)-4binomial(15,9)%2Bbinomial(19,9) Sprawdzenie: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Series%5B(1-x%5E4)%5E4(1-x%5E6)%5E6%2F(1-x)%5E10,+%7Bx,0,10%7D%5D

Pytający: Chyba zgapiłem od Ciebie, Milu − niemal identycznie.

Mila: Dobry wieczór Myślałam , aby wykorzystać sumowanie, ale jakoś z tymi indeksami pokręciłam. Jutro coś pomyślę, dzisiaj nie miałam czasu.

Pytający: Dobry wieczór, dobra noc. Pewnie jeszcze da się to uprościć.