rekurencja Robert: a_n=−a_n−1+2a_n−2*3*(−2)ⁿ czy rozwiązanie szczególne będzie wyglądało tak: a_n⁽²⁾=A*(−2)ⁿ*n A*(−2)ⁿ*n=−A*(−2)ⁿ⁻¹*(n−1)+2*A*(−2)ⁿ⁻²*(n−2)*3*(−2)ⁿ czy tak A*(−2)ⁿ*n=−A*(−2)ⁿ⁻¹*(n−1)+2*A*(−2)ⁿ⁻²*(n−2)+3*(−2)ⁿ bo rozwiązując na ćwiczeniach miałem tą 2 opcję ale nie mam pojęcia dlaczego skoro w przykładzie jest mnozenie nie dodawanie

Mila: a_n=−a_n−1+2a{n−2}+3*(−2)ⁿ powinno być dodawanie, w przeciwnym przypadku byłoby równanie o zmiennych wsp. i wtedy wyglądałby inaczej, na końcu byłoby...+2*3*(−2)ⁿ*a_n−2 x²+x−2=0 x₁=−2 lub x₂=1 a_n⁽²⁾=A*(−2)ⁿ*n zatem po podstawieniu druga wersja.

Robert: Tak myslalem ze to wlasnie błąd jakiś w zadaniu. Dziękuje za odpowiedz. Mam jeszcze 1 pytanie jeśli f(n)− wyraz wolny jest wielomianem: podam przyklad bedzie latwiej wytlumaczyc tak mi sie wydaje (x−5)(x+2)=0 − rown.char. f(n)=n+1 to jak wyznaczyc rozw. szczegolne.

Mila: a_n⁽²⁾=C*n+D

Robert: z czego sie to bierze?

Robert: prosze o wytlumaczenie

Mila: Wg mnie z funkcji tworzących. Przewidywana postać rozwiązania. Co na wykładzie było? Pytający podał Ci linka , gdzie są podane te informacje.

Robert: Nie mialem czegos takiego na wykladach/cwiczeniach Jedna notatka to: Jezeli wyraz wolny jest wielomianem stopnia k to szukamy rozwiazania szczegolnego postaci a_n²= W(n)*nⁱ gdzie W(n)−wielomian stopnia k, i − jest krotnoscia jedynki jako pierw. rown. char. I nie rozumiem skad wychodza takie wyniki.

Mila: Ustalono prawdopodobnie za pomocą funkcji tworzących, czy miałeś funkcje tworzące? Podaj warunki początkowe, to zobaczę to rozwiązanie.

Robert: Nie ma innych warunkow. Zadanie brzmi: Jakiej postaci bedziemy szukac rozw. szczegolnego rekurencji o rown. char. (a,b,c) i wyrazie wolnym (1,2,3) a) (x−5)(x+2)=0 b) (x²−1)= c) (x−1)³(x+1)³=0 1) f(n)=n+1 2) f(n)=√13 3) f(n)=n³+1 i mi chodzi o rozwiązanie a1) CO DO FUNKCJI TW. Miałem funkcje tw. ale dopiero po rekurencjach, i nie chciałbym sobie mieszać głowy f.tw. bo dopiero jutro chcę sie z nich zacząć uczyć i nic o nich nie pamiętam

Mila: Przykłady równań rekurencyjnych niejednorodnych − rozwiązane zadania 1) f(n)=n+1 , a_n⁽²⁾=Cn+D 2) f(n)=√13 a_n=3a_n−1+10a_n−2+√13 sumujemy współczynniki : 3+10=13≠1

	√13		13
an(2)=		=
	1−13		−12

3) Wydaje mi się, że dla f(n)=n³+1 sprawdzamy a_n⁽²⁾= Cn³+Dn²+En+F

Robert: Skąd się to wzięło an=3a_n−1+10a_n−2+√13 ?

Robert: Ja mam odpowiedzi ale nie wiem jak do nich dojść: a1) an2=An+B b1) an2=(An+B)n c1) an2=(An+B)n³ a2) an2=A b2) an2=An c2) an2=An³ a3) An³+Bn²+Cn+D b3) (An³+Bn²+Cn+D)n c3) (An³+Bn²+Cn+D)n³

Mila: W (a) (x−5)(x+2)=0 to jest równanie charakterystyczne. Ma pierwiastki jednokrotne. x²+2x−5x−10=0 x²−3x−10=0⇔x²=3x+10 Czyli równanie rekurencyjne było takie : a_n=3a_n−1+10a{n−2} +f(n) z tego równania układasz r.charakterystyczne. a_n−3a_n−1−10a_n−2=0⇔ x²−3x−10=0⇔(x−5)*(x+2)=0 Musisz przeczytać jakie są przewidywane szczególne rozwiązania i nauczyć się na pamięć wszystkich przypadków z pewnymi ograniczeniami; f(n)=n+1 − wielomian stopnia pierwszego więc tak, jak podałam. Gdyby równanie charakterystyczne miało podwójny pierwiastek byłoby inaczej

Robert: Tylko ze ja mialem 1 metode zadnej innej i wszystko sie dalo z tego wyliczyc

Mila: Dzisiaj Dobranoc. Jutro będzie Pytający, to lepiej wytłumaczy.

Robert: Ok to czekam na pomoc Dobranoc

Pytający: Rób według metody, którą masz w notatkach. W linku, który wcześniej podawałem zdaje się być to samo rozgraniczone na więcej przypadków, ale w większości wychodzi to samo. Jednak coś tam chyba jest słabo doprecyzowane, bo np. dla: 0=(x−1)³(x+1)³=x⁶−3x⁴+3x²−1 f(n)=√13 Mamy równanie: a_n=3a_n−2−3a_n−4+a_n−6+√13 Według: https://www.matematyka.pl/304902.htm jako że: f(n)=√13≠0 ∧ ∑a_i=1 powinniśmy przewidywać:

	√13
an(2)=n		,
	2*3+4*(−3)+6*1

lecz jak widać mianownik się tu zeruje, więc gdzieś tam musi być pomyłka. Jednak większość tamtejszych przypadków pokrywa się z Twoim wzorem. Jeśli ten wzór jest poprawnie zanotowany to raczej jest poprawny (mniejsza szansa że to wykładowca się pomylił, a nie ktoś w internetowym wpisie). Toteż cytując Cię: "Jezeli wyraz wolny jest wielomianem stopnia k to szukamy rozwiazania szczegolnego postaci a_n⁽²⁾= W(n)*nⁱ, gdzie W(n)−wielomian stopnia k, i − jest krotnoscia jedynki jako pierw. rown. char." Czyli: 1) f(n)=n+1 ⇒ a_n⁽²⁾= (An+B)*nⁱ 2) f(n)=√13 ⇒ a_n⁽²⁾= (A)*nⁱ 3) f(n)=n³+1 ⇒ a_n⁽²⁾= (An²+Bn+C)*nⁱ a) (x−5)(x+2)=0 ⇒ i=0 b) (x²−1)=0=(x−1)(x+1) ⇒ i=1 c) (x−1)³(x+1)³=0 ⇒ i=3 Stąd takie a nie inne odpowiedzi.

Pytający: A dla Ciebie, Milu, poranna .

Robert: Ja troche inaczej to zrozumialem, ale moze tez dobrze robie prosze o sprawdzenie (x+3)(x−1)=0 wyraz wolny= −8n+10 i z tego wychodzi (An+B)n

Robert: Jesli rozwiazuje to dobrze to co mam dalej zrobic bo tutaj tez mam zagadke a_n=−2a_n−1+3a_n−2−8n+10 i wyliczajac rozw. szczegolowe mam tutaj zastosowana taka metode ze n²: A=A n B=−4A+B+1 (tutaj nie wiem, co dokladnie jest napisane) 1=0=4A−2B totalnie nie mam pojęcia co to za metoda i jak to zostało wyliczone więc tutaj tez prosiłbym o pomoc

Robert: DOBRA ZROZUMIAŁEM PO 6h+ w końcu teraz mam tylko problem mając np. wielomian 3 stopnia An³+Bn²+Cn+D jak wyznaczyć współczynniki tego wielomianu kiedy żadnego nie znamy

Pytający: Do tego poprzedniego: Przewidywane rozwiązane szczególne jest postaci: a_n⁽²⁾=(An+B)n Podstawiasz do równania: a_n=−2a_n−1+3a_n−2−8n+10 Otrzymujesz: (An+B)n=−2(A(n−1)+B)(n−1)+3(A(n−2)+B)(n−2)−8n+10 Co po pogrupowaniu stron wygląda tak: (A)n²+(B)n+(0)=(A)n²+(−8A+B−8)n+(10A−4B+10) Stąd układ równań:

⎧	A=A
⎨	B=−8A+B−8
⎩	0=10A−4B+10

W notatce (lub na ćwiczeniach) pewnie wkradł się błąd w obliczeniach, stąd inna postać drugiego i trzeciego równania. Wychodzi: A=−1, B=0 a_n⁽²⁾=(An+B)n=−n² Z równanie jednorodnego: a_n⁽¹⁾=C*(−3)ⁿ+D I rozwiązanie ogólne: a_n=a_n⁽¹⁾+a_n⁽²⁾=C*(−3)ⁿ+D−n² I tak jak tutaj współczynniki z a_n⁽²⁾ zawsze policzysz podstawiając to przewidywanie rozwiązanie do wyjściowego równania. Natomiast żeby policzyć współczynniki dla rozwiązania szczególnego mając ogólne a_n=a_n⁽¹⁾+a_n⁽²⁾, musisz mieć początkowe k wartości ciągu, tj. a₀, ..., a_k (gdzie k to rząd równania rekurencyjnego). Wtedy tworzysz układ k równań z k niewiadomymi (poszukiwane współczynniki) i go rozwiązujesz. Przykładowo dla rozpisanego wyżej przykładu: a_n=C*(−3)ⁿ+D−n² współczynniki C, D znajdujesz z układu:

⎧	a0=C*(−3)0+D−02
⎩	a1=C*(−3)1+D−12

I otrzymasz rozwiązanie szczególne a_n dla zadanych wartości początkowych a₀, a₁.