Znając niektóre pierwiastki wielomianu znajdź jego rozkład na czynniki krak: W(x)=x⁴−2x³+7x²+6x−30 x₁=1−3i Jak znaleźć przez co dzielić wielomian? Co potem?

PW: Jeżeli x₁ jest pierwiastkiem, to również x̅₁ jest pierwiastkiem. Podzielić przez (x−x₁)(x−x̅₁)

PW: =x²−(x₁+x̅₁)x+x₁x̅₁=x²−(x₁+x̅₁)x+|x₁|², u nas x₁+x̅₁=2Rex₁=2, |x₁|²=1²+(−3)²=10, czyli wielomian dzielić przez x²−2x+10

sd: Jak to mnożyć między sobą?

ite: skorzystanie z podpowiedzi PW daje szybkie rozwiązanie W(x)=x⁴−2x³+7x²+6x−30 = (x⁴−2x³+10x²)−(3x²−6x+30) = = x²(x²−2x+10)−3(x²−2x+10) = (x²−3)*(x²−2x+10) teraz tylko rozłóż oba czynniki na iloczyny wielomianów stopnia pierwszego

PW: A pięknie to zrobiłaś bez dzielenia, po prostu popatrzeć i rozłożyć, skoro wiadomo "co ma wyjść"

Mariusz: Bez podanego pierwiastka też ładnie się sprowadza do różnicy kwadratów i działa to na każdy wielomian czwartego stopnia x⁴−2x³+7x²+6x−30 (x⁴−2x³)−(−7x²−6x+30) (x⁴−2x³+x²)−(−6x²−6x+30) (x²−x)²−(−6x²−6x+30) (x²−x+y/2)²−((y−6)x²+(−y−6)x+y²/4+30) (y²+120)(y−6)−(−y−6)²=0 y³−6y²+120y−720−(y²+12y+36)=0 y³−7y²+108y−756=0 y²(y−7)+108(y−7)=0 (y−7)(y²+108)=0 y=7

	7		169
(x2−x+		)2 −(x2−13x+		)
	2		4

	7		13
(x2−x+		)2−(x−		)2
	2		2

Mila: x₁=1−3i x₂=1+3i (x−(1−3i))*(x−(1+3i)=(x−1+3i)(x−1−3i)= =(x−1)²−(3i)²=x²−2x+1+9=x²−2x+10