forma n-liniowa Exstr: szybkie pytanie odnosnie macierzy formy n−liniowej. jesli forma jest symetryczna to jej macierz bedzie symetryczna i jesli jest antysymetryczna to macierz tak samp antysymetryczna?

jc: Jak sobie taką macierz wyobrażasz? Np. wyznacznik jest n−liniową formą antysymetryczną. Wyznacznik z macierzy3x3 jest 3−liniową formą antysymetryczną. ε₁₁₁=ε₂₂₂=ε₃₃₃=0 ε₁₂₃=ε₂₃₁=ε₃₁₂=1 ε₁₃₂=ε₂₁₃=ε₃₂₁=−1 czy ε jest macierzą antysymetryczną?

Exstr: to chyba tylko sie sprawdza przy formie dwu liniowej tak mi si wydaje a w takim razie jak sprawdzic najlatwiej czy odwzorowanie R³ x R³ x R³⇒R jest antysymetryczne

jc: Jak masz określone odwzorowanie?

Exstr: f(u,v,w)=u₁v₂w₃ − u₁v₃w₂ + u₂v₃w₁ + −u₂v₁w₃ + u₃v₁w₂ − u₃v₂w₁

Exstr: i oczywiscie u=(u₁,u₂,u₃) itd

jc: To wyznacznik |u,v,w|, a więc na pewno forma antysymetryczna.

jc: No tak, ale antysymetryczność wyznacznika też należałoby sprawdzić. Po prostu zamień u z v (potem v z w) i sprawdź, że zmienia się znak.

Exstr: ale to musze tym sposobem sprawdzic chyba 6 mozliwosci, bo tyle jest mozliwych permutacji zbioru 3 elementowego czy nie?

jc: Chyba nie. Sprawdzamy tylko dla par (faktycznie wystarczy dla par sąsiednich wektorów). Jeśli f(v,u,w)=−f(u,v,w) f(u,w,v)=−f(u,v,w) to f(w,v,u)=−f(v,w,u)=f(v,u,w)=−f(u,v,w)