nieskonczony ciag Julia: Dany jest nieskończony ciąg okręgów (O_n) o równaniach x²+y²=2¹¹⁻ⁿ , n>=1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem O_2k−1 i wewnętrznym okręgiem O_2k. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P_k, gdzie k>=1.

Basia: P_k = π*(2^{11−(2k−1)})² = π*(2^11−2k)² = π*[(2^12−2k)² − (2^11−2k)²] = π*(2^24−4k − 2^22−4k) = π*2^22−4k*(2²−1) = 3π*2^22−4k masz ciąg geometryczny P₁ = 3π*2²²⁻⁴ = 3π*2¹⁸

	Pk1		3π*222−4(k+1)		1
q =		=		= 2−4k−4+4k = 2−4 =
	Pk		3π*222−4k		16

ciąg jest zbieżny

	P1		3π*218		3π*218
S =		=		=		=
	1−q		1−116		1516

3π*218*16		3π*222
	=
15		15

Julia: a czy promien nie powinien wynosic √ 2¹¹⁻ⁿ ?

Anna: ponawiam pytanie Julii czy promień nie powinien wynosić √26¹¹⁻ⁿ

Basia: oczywiście, że r=√2¹¹⁻ⁿ; gdzieś to przeoczyłam P_k = π(2^11−2k+1−2^11−2k) = π*(2^11−2k*2 − 2^11−2k) = π*2^11−2k(2−1)=π*2^11−2k

	1
q = U{π*211−2k−2{π*211−2k = 2−2=
	4

	π*29		π*29		π*211
S =		=		=
	1−(1/4)		3/4		3

Anna: dziękuję