Całka Nethee: Mam taką całkę: ∫_C zdx+ydy+ydz C − krzywa wyrażona przez przecięcie cylindra A={(x,y,z): x²+y²−1, z należy do R} oraz płaszczyznę o równaniu x+y−z= −1 Jak się za to zabrać?

jc: x, y pewnie też należą do R?

jc: Czy tam nie powinno być x²+y²=1?

Nethee: Tak, jest x²+y²=1

Nethee: Pomoże ktoś?

Nethee: Rotacja mi wyszła (1,1,1), ale nie wiem co dalej

jc: Czyżby zero? D=obszar wykrojony z rury. ∫_dD zdx+ydy+ydz = ∫_D d(zdx+ydy+ydz) =∫_D dzdx+dydz x, y parametry, z=1+x+y, dz=dx+dy ∫_D dzdx+dydz = ∫_D (dx+dy)dx+dy(dx+dy)=∫_D 0 = 0

Nethee: Nie rozumiem tego tak do końca Zacząłem trochę kombinować... Mam skorzystać ze wzoru: ∫_sigma rotF(v) n(v)ds jak to przekształcić później? Prowadzący mówił coś o współrzędnych biegunowych

jc: Oj, pomyliłem się na koniec ... =2∫_D dydx Całkujesz pole (1,1,0) po powierzchni prostopadłej do wektora (1,1,−1). Iloczyn skalarny = 2 Całka = 2*pole elipsy pole elipsy = πab a=1, b=? Jak policzysz b, będziesz miał wynik.

jc: b=√2 a więc całka = 2√2π Ale może coś mylę.

Nethee: Myślałem, że może trzeba korzystać ze wzoru:

	−df		−df
∫ [rotF1(x,y,f(x,y))		+ rotF2(x,y,f(x,y))		+ rotF3(x,y,f(x,y))dxdy
	dx		dy

Myślisz że tak by to też wyszło? Tylko znowu nie wiem co tu popodstawiac

jc: Coś chyba pokręciłem. Na pewno uzyskasz to samo, tylko piszesz dużo więcej znaczków. ∫_dD zdx+ydy+ydz = ∫_D d(zdx+ydy+ydz) =∫_D dzdx+dydz = ∫_W (dx+dy)dx+dy(dx+dy)=−2∫_W dxdy = −2π W drugiej linii przeszedłem do parametryzacji x=x, y=y, z=1+x+y. W jest kołem o promieniu 1, którego pole = π.

Nethee:

	−df
Okej a wiesz może w moim przypadku co podstawić za rot1? Bo		to −1
	dx

jc: Policz jeszcze raz rotację. Czy to czasem nie (1,1,0)?

Nethee: Liczę tak:

dFz
	= 1
dy

dFy
	= 0
dz

dFx
	= 1
dz

dFz
	= 0
dx

dFy
	= 1
dx

dFx
	= 0
dy

Wychodzi (1,1,1)

jc: Dlaczego dF_y/dx=1 skoro F_y=y?

Nethee: O kurczę! Teraz zobaczyłem błąd Tam powinna być całka: ∫ zdx+xdy+ydz najmocniej przepraszam!

jc: Teraz d(zdx+xdy+ydz)=dzdx+dxdy+dydz i mamy (1,1,1) Po przejściu do z=1+x+y (dx+dy)dx+dxdy+dy(dx+dy)=dydx = −dxdy i całka = −π. Tyle otrzymałeś?

Nethee: Wyszło mi π Jak podstawiłem za rotF₁ x i wyglądało to tak: ∫ (x • (−1) + y•(−1) + x + y +1) dx dy= ∫ dx dy I tu zmiana na współrzędne biegunowe Myślisz że to dobry zapis?

jc: Pewnie masz rację, że π, a nie −π. Nie musisz liczyć końcowej całki. Przecież to pole koła o promieniu 1, czyli π. Jednak nie rozumiem, dlaczego u Ciebie rotacja nie jest stała.

Nethee: Myślisz że coś jest nie tak z tym zapisem rot?

jc: Wzór masz dobry, tylko, że rotacja = (1,1,1), a nie (x,y,1+x+y). −−− z=f(x,y) dz = f_x dx + f_y dy Pdydz + Qdzdx+Rdxdy Pf_x dydx + Qf_ydydx + Rdxdy =(R−Pf_x−Qf_y)dxdy