Rozwiązać zagadnienia początkowe SEKS INSTRUKTOR: y(n+2) −2y(n+1) +y(n) =16 Rozwiązać zagadnienia początkowe y(0) =2 y(1)=1 Mam problem z rozpisaniem tego równania, bo po prawej stronie jest wielomian stopnia zerowego, jak to powinno wyglądać? y(n) =b y(n+1) = b y(n+2) =b Na zajęciach robiliśmy tak, że y(n) =b *n² y(n+1) = b (n+1) ² y(n+2) = b (n+2) ² Z czego to wynika i dlaczego w ten sposób należy to rozpisac? Jak ktoś mi wyjaśni dlaczego tak się rozpisuje, dalej sobie poradzę z rozwiązaniem szczególnym i ogólnym.

jc: y(n)=1 oraz y(n)=n spełniają równanie y(n+2) − 2y(n+1)+y(n)=0. Musisz więc wstawiać inną funkcję (w tym wypadku n²). Czy miałeś liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach? Zasada jest taka sama.

SEKS INSTRUKTOR: hmm... nie przypominam sobie, żebym miał równania różniczkowe o stałych współczynnikach, miałem różne typy, ale tego sobie nie przypominam A jak należy dobierać tę funkcję − tzn jak sprawdzać co i w jakim przypadku tam wstawić bo gdy miałem np n * 2ⁿ no to wstawiałem sobie klasycznie (An+B) *2ⁿ i za n podstawiałem kolejno (n+1) i (n+2) albo gdy miałem 1+n to też podstawiałem (An+B) i za n kolejno wstawiałem (n+1) i (n+2)

jc: Czy wiesz, jak rozwiązać poniższe równanie? y'' − 2y' + y' = 1

SEKS INSTRUKTOR: γ² −2γ+1 =0 (zakładam, ze chodzilo ci o rownanie y`` −2y` +y (a nie y`) γ1 = 1 − podwójny pierwiastek i co tu się dalej robiło? y(t) = At+B y`(t) = a y``(t)=0 coś dzwoni, ale nie pamietam jak to się robiło

jc: Lewa strona = w(n) aⁿ w = wielomian a nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego szukasz rozwiązania szczególnego w postaci f(n)aⁿ, stopnień f= stopień k a jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego szukasz rozwiązania szczególnego w postaci nf(n)aⁿ, stopnień f= stopień k a jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu charakterystycznego szukasz rozwiązania szczególnego w postaci n²f(n)aⁿ, stopnień f= stopień k U nasz a=1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, stopień w = 0. Rozwiązania szczególnego szukamy w postaci bn².

jc: Tak, dopisał mi się jakiś zbędny prim.

jc: Przy okazji, używałbym jednak innej litery na oznaczenie funkcji i oznaczenie zmiennej wielomianu charakterystycznego. y''−2y'+y=1, a²−2a+1=0.

SEKS INSTRUKTOR: stopnień f= stopień k − co to oznacza? Czy chodzi, że stopień f ma mieć ten sam stopień, co stopień w? Wcześniej nie używasz k, więc nie wiem skąd ono się wzięło.

SEKS INSTRUKTOR: używam ogólnie lambdy, ale coś namieszałem przy wpisywaniu

jc: miało byś stopień f = stopień w. Też używam lambdy, ale tu szybciej pisze mi się inne litery.

SEKS INSTRUKTOR: wiadomo o co chodzi − dziękuję za pomoc, wiedziałem o tym co pisałeś, ale nie wiedziałem ze w tym przypadku należy to zastosować. Czyli w moim przykładzie y(n+2) −2y(n+1) +y(n) =16 będzie a² −2a +1 =0 pierwiastek podwójny a=1 czyli szukam w(n) *a ⁿ w(n) stopnia zerowego (czyli to jest to 16, czyli sam wyraz wolny więc wstawiam samo B) a = 1 (i jest rozwiązaniem w. charakterystycznego i to podwójnym) n² * B *aⁿ, gdzie a =1 więc po uproszczeniu n² *B, wszystko sie zgadza, ale chciałbym zapytac czy analiza wykonana poprawnie

Mariusz: Funkcje tworzące są wygodniejsze w użyciu a to co proponujesz to zgadywanie y(n+2) −2y(n+1) +y(n) =16 Y(x)=∑_n=0^∞y_nxⁿ ∑_n=2^∞y_nxⁿ=∑_n=2^∞2y_n−1xⁿ−∑_n=2^∞y_n−2xⁿ+∑_n=2^∞16xⁿ

	16x2
∑n=2∞ynxn=x∑n=2∞2yn−1xn−1−x2∑n=2∞yn−2xn−2+
	1−x

	16x2
∑n=0∞ynxn−y1x−y0=x∑n=1∞2ynxn−x2∑n=0∞ynxn+
	1−x

∑_n=0^∞y_nxⁿ−y₁x−y₀=

	16x2
2x(∑n=0∞ynxn−y0)−x2∑n=0∞ynxn+
	1−x

	16x2
Y(x)−y1x−y0=2xY(x)−2y0x−x2Y(x)+
	1−x

	16x2
Y(x)(1−2x+x2)=(y1−2y0)x+y0+
	1−x

	(y1−2y0)x+y0		16x2
Y(x)=		+
	(1−x)2		(1−x)3

Rozkładamy na sumę ułamków a następnie korzystamy z różniczkowania szeregu geometrycznego lub dwumianu Newtona lub mnożenia szeregów

SEKS INSTRUKTOR: Mariusz, mam narzuconą metodę przewidywań, ta, którą rozpisałeś nie jest mi znana, jednak w chwili wolnego czasu przenalizuję jak to działa.

Benny: Mariusz rozpisałem Ci w starym temacie macierz Jordana. Zajrzałeś?

Mariusz: Benny właśnie przejrzałem ale sposób który zaproponowałeś nie zadziała dla każdej macierzy Przeglądałeś swój temat o sortowaniu stogowym ? Spójrz na pętlę w funkcji przesiewającej ze szczególnym uwzględnieniem tego kiedy jest modyfikowana zmienna j ? Co się stanie gdy iteracja nie zmieni wartości tej zmiennej ? Poza tym istnieje ryzyko przekroczenia zakresu typu całkowitego W tym temacie zaproponowałem ci napisanie podobnego algorytmu korzystającego z drzewa binarnego i działającego także na liście

Mariusz: Gdybyś miał zliczać ukorzenione drzewa binarne to sposób który ci proponują zawiedzie jc wspomniał o rozwiązywaniu równań różniczkowych Istnieje analogiczna metoda która nie wymaga aż tak dużo zgadywania Zapisujesz równanie jednorodne w postaci układu równań który rozwiązujesz metodą algebraiczną Liczysz potęgę macierzy − tutaj przydatny będzie jakiś rozkład macierzy Mając rozwiązanie ogólne równania jednorodnego uzmienniasz stałe aby dostać rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego Zamiast wyznacznika Wrońskiego masz wyznacznik Casoratiego a zamiast całkować sumujesz Do obliczania sum może być przydatny rachunek różnicowy Trochę o rachunku różnicowym masz na ważniaku