Rozkład na ułamki proste SEKS INSTRUKTOR: Rozkład na ułamki proste − proszę o podpowiedź Rozłożyć na ułamki proste:

−98+2s2
7s2(s−7)

Nie wiem czy to ma mieć formę

A		B
	+		czy
7s2		s−7

As+B		C
	+
7s2		s−7

Na jakiej zasadzie wybiera się tę formę ułamka prostego? W liczniku musi być wielomian stopnia o 1 niższy niż w mianowniku?

Adamm: to drugie

Basia: 2s²−98 = 2(s²−49) = 2(s−7)(s+7) i masz

2(s−7)(s+7)		2(s+7)		1		2s+14
	=		=		*
7s2(s−7)		7s2		7		s2

	As+B
a jeżeli już to
	7s2

jc:

	2(s+7)
Wyrażenie		nie jest ułamkiem prostym.
	s2

SEKS INSTRUKTOR: A na jakiej zasadzie się to dobiera? Zawsze wydawało mi się że jeśli jest np (s+2)², to

	As+B		A
rozkłada się to na		, zaś jak jest s2, to
	(s+2)2		s2

Adamm: jak masz (s+2)² w mianowniku to ułamki masz 2

A		B
	+
(s+2)2		s+2

SEKS INSTRUKTOR: Basia to uprościła. Wiec jak, po przekształceniu Basi to rozpisać? Bo już mam mętlik w glowie

Basia: jc ale całkę z tego już łatwo policzyć, a najpewniej o to chodzi

	2s+14		2		14
poza tym		=		+		i może się mylę, ale coś mi się zdaje, że nic
	s2		s		s2

lepszego się tu nie dostanie fakt, nie sprawdzałam

jc: Masz rację, chodziło tylko o definicję. Suma po prawej stronie jest już rozkładem na ułamki proste. Przy okazji, prawdopodobnie chodzi o odwrócenie transformaty Laplace (litera s).

SEKS INSTRUKTOR: Tak, chodzi o transformatę.

Adamm: metoda ułamków prostych, na czym to polega masz sobie funkcję wymierną, stopień licznika mniejszy od stopnia mianownika wielomian w mianowniku składa się z wyrażeń (s−s₀)^k oraz (s²+as+b)^l, gdzie s²+as+b jest nierozkładalny jak masz typu (s−s₀)^k to rozkładasz

C1		Ck
	+...+
s−s0		(s−s0)k

jak masz typu (s²+as+b)^l to rozkładasz

A1s+B1		Als+Bl
	+...+
s2+as+b		(s2+as+b)l

oczywiście, nie zawsze taki wielomian rozłożyć jest warto

Adamm: funkcję wymierną*

jc: Adamm, dodam, że rozkład na ułamki proste zależy od ciała (Q,R,C), co ma związek z rozkładem wielomianu na czynniki.

Adamm: w domyśle jest ciało R

Adamm: ale pewnie ciekawy byłby taki rozkład w ciele Q

jc: W rozpatrywanym zadaniu Q,R,C dają to samo.

1
	nie rozłożymy w przypadku Q
x2−2

1		1		1		1
	=		(		−		) w przypadku R.
(x−√2)(x+√2)		2√2		x−√2		x+√2

SEKS INSTRUKTOR: Adamm, analizując Twoje rozwiązanie powinienem rozpisać

s+7
	na
s2

A		B
	+		?
s		s2

Basia: tak tylko po co?

	s+7		s		7		1		7
przecież		=		+		=		+
	s2		s2		s2		s		s2

SEKS INSTRUKTOR: no w sumie to tak, już późno i nie myślę

SEKS INSTRUKTOR: jeszcze jedno do sprawdzenia

2s2+6s+5
(s+5)*s2

To mam rozpisać jako

A		B		C
	+		+		?
s+5		s		s2

Adamm: tak

Basia: tak

SEKS INSTRUKTOR: Dziękuję! Jeszcze pewnie pojawi się parę próśb ode mnie o sprawdzenie, ale jeśli ktoś idzie spać, to dobrej nocy!

SEKS INSTRUKTOR: no ale wtedy wychodzi mi A s³ +B (s+5)*s² +C (s+5) *s =2s²+6s +5 No i mi sie nie zgadza, po lewej mam s³, po prawej s²

SEKS INSTRUKTOR: Dobra, chyba czas jednak do spania, jak takie rzeczy mi wychodzą. Znalazłem błąd

jc: As² + B(s+5)s + C(s+5) = 2s²+6s+5

Basia: wspólny mianownik to s²(s+5) i masz As²+Bs(s+5)+C(s+5) = 2s²+6s+5 As²+Bs²+5Bs+Cs+5C = 2s²+6s+5 (A+B)s²+(5B+C)s+5C = 2s²+6s+5 C = 1 A+B=2 5B+1=6 B=1 A=1

SEKS INSTRUKTOR: Tak też policzyłem! Dziękuję!

Mariusz: Czy aby na pewno ułamka nie można skrócić ?

−98+2s2		2	s2−49
	=
7s2(s−7)		7	s2(s−7)

	2	(s−7)(s+7)
=
	7	s2(s−7)

	2	s+7
=
	7	s2

a stąd już łatwo

	2	1		1
=			+2
	7	s		s2

2
	+2t
7

Jak sprawdzić czy mianownik można jeszcze skrócić ? Liczysz NWD licznika i mianownika biorąc reszty z kolejnych dzieleń i ostatnia niezerowa reszta to NWD 1/2s−7/2 s³−7s² : 2s²−98 s³−49s −7s²+49s −7s²+343 49s−343 2/49s + 14/49 2s²−98 : 49s−343 2s² −14s 14s −98 14s −98 0 Zatem 49s−343 to NWD(s³−7s² , 2s²−98); Z powyższego dwumianu możemy wynieść stały czynnik 49s−343=49(s−7)