całka wymierna jozef jozefowicz: całka (x−1)/(x²−4x+13)

ford:

	12(2x−4)+1
∫		dx =
	x2−4x+13

	12(2x−4)		1
= ∫		dx +		dx
	x2−4x+13		x2−4x+13

	1		1
=		ln|x2−4x+13| +		dx
	2		(x−2)2+9

	1		1
=		ln|x2−4x+13| +		dx
	2		(x−2)2+32

	1		1		x−2
=		ln|x2−4x+13| +		arctg(		) + C
	2		3		3

Jak to się robi: − liczysz deltę mianownika (jest ujemna) − w takich sytuacjach wiesz że całka będzie sumą logarytmu naturalnego oraz arcus tangensa − liczysz pochodną mianownika: (x²−4x+13)' = 2x−4 − wrzucasz na siłę (2x−4) do licznika, pamiętając, że tam było x−1: muszą się zgadzać

	1
współczynniki więc mnożysz przez		żeby było samo x
	2

1
	(2x−4) jeśli to wymnożysz to dostajesz x−2, pamiętasz że ma być x−1 dlatego do tego
2

	1
		(2x−4) dodajesz jedynkę
	2

	f'(x)
− korzystasz ze wzoru ∫		dx = ln|f(x)| + C do pierwszej całki
	f(x)

− przechodzisz z postaci ogólnej x²−4x+13 do kanonicznej (liczysz p i q funkcji kwadratowej) − dostajesz (x−2)²+9

	1		1		x−p
− korzystasz ze wzoru ∫		dx =		arctg		+ C
	(x−p)2+a2		a		a

Basia:

	2(x−1)		2x−2−2+2		2x−4+2
x−1 =		=		=
	2		2		2

	1		2x−4		2
J =		∫[		+		] dx =
	2		x2−4x+13		x2−4x+13

1		2x−4		1
	∫		dx + ∫		dx
2		x2−4x+13		(x−2)2+9

pierwsza: podstawienie t = x²−4x+13 dt = (2x−4)dx

	1		dt		1		1
J1 =		∫		=		ln|t|+C =		ln(x2−4x+13)+C
	2		t		2		2

wartość bezwzględną pomijam bo x²−4x+13 jest stale dodatnie druga:

	1		1		1
J2 = ∫		dx =		∫		dx
	(x−2)2   9( +1)   9		9		x−2   ( )2 + 1   3

podstawienie:

	x−2
t =
	3

	1
dt =		dx
	3

dx = 3dt

	1		1		1		1		x−2
J2 =		*3∫		dt =		arctg(t) +C =		arctg		+C
	9		t2+1		3		3		3

o ile się gdzieś nie pomyliłam; sprawdzaj