Wyznacz najlepsze przybliżenie funkcji XYZ: Wyznacz najlepsze przybliżenie funkcji x∊L₂[−1,1], x(t)=t³ za pomocą funkcji z podprzestrzeni V=lin{t²*1_[0,1],t*1_[−1,0]} ||x||_L2=(∫|x(t)|²)^1/2

jc: Co to jest t²*1_[0,1]?

Adamm: 1_{[0, 1]} to funkcja charakterystyczna odcinka [0, 1]

jc: Zwykle pisze się ϰ_[0,1]. A * to splot czy zwykłe mnożenie? Zakładam, że mnożenie. Szukamy a i b dla których suma ∫₋₁⁰(t³−at)² dt + ∫₀¹ (t³−bt²)² dt jest najmniejsza.

XYZ: Tak, chodziło o funkcję charakterystyczną. U mnie zaznacza się przez pogrubioną 1 a nie mogłem znaleźć, więc dałem normalną. Co do tego zadania to powinienem policzyć te całki? Jeżeli tak to wyszło mi coś takiego:

2a		a2		b		b2
	−		−		+
5		3		3		5

Co trzeba dalej?

jc: Masz drobny błąd. Powinno wyjść: 2/7 −2a/5 + 2²/3 − b/3 + b²/5. Znajdź teraz wartości a, b, dla których otrzymane wyrażenie jest najmniejsze.

Benny: @jc 1_[a,b] oznacza się indykator, zazwyczaj stosowany w rozkładzie jednostajnym

XYZ: Nic sensownego nie mogę wymyślić. Powinienem to do 0 przyrównać? 2/7 −2a/5 + a²/3 − b/3 + b²/5=0 i z tego wyliczyć a oraz b?

jc: Przecież to suma funkcji kwadratowych, szkolne zadanie. Benny, co to jest indykator? (mam jakieś ptasie skojarzenia)

Adamm: Indykator to inna nazwa na funkcję charakterystyczną

Benny: Dokładnie. Na rachunku prawdopodobieństwa używaliśmy indykatorów, natomiast funkcji charakterystycznej przy definiowaniu całki Lebesgue'a.