topologia Daga: Niech A ={(x,y) ∊R² , x+y>1} oraz B={(x,y) ∊R², x+y≤1}. Udowodnij ze domknięcie zbioru A jest równe B, oraz ze intA=A

Adamm: Domknięcie zbioru A nie jest równe B

Adamm: co do intA=A mam wskazówkę spróbuj pokazać że A jest zbiorem otwartym

Daga: No własnie, to domknięcie zbioru A nie jest równe B zauważyłam, ale to nie bylo wystrczające wytlumaczenie dla doktora.

Adamm: No i co, ja mam mu iść wytłumaczyć?

Daga: Myslalam ze da sie to jakos formalnie zapisac

Adamm: Da się, trzeba było tak od razu. Bierzemy ciąg z_n=(x_n, y_n) z A Niech ten ciąg będzie zbieżny do z=(x, y) Równoważnie, x_n jest zbieżny do x oraz y_n jest zbieżny do y x_n+y_n>1 jest zbieżny do x+y≥1 czyli np. dowolny punkt (x, y) dla którego x+y=0 należy do B, ale nie do domknięcia A (bo każdy punkt z domknięcia A jest pewną granicą ciągu z A) No i to już starcza, bo znaleźliśmy punkt który należy do domknięcia A ale nie należy do B

Adamm: Dobra, prościej A jest podzbiorem swojego domknięcia czy A jest podzbiorem B? no nie jest

jc: B ∩ A = ∅ Domknięcia A powinno zawierać A (to najmniejszy zbiór domknięty zawierający A). Zatem B nie jest domknięciem A. Wnętrze A to największy zbiór otwarty zawarty w A. Skoro A jest otwarty, to wnętrze A równe jest A. Przy okazji. Zbiór B = R² − A jest domknięty bo A jest otwarty.

Daga: Adamm troszke nie rozumiem tej linijki xn+yn>1 jest zbieżny do x+y≥1 skąd nagle ten znak ≥?

jc: 1/n > 0, ale 1/n →0.

Adamm: Bo przeszliśmy przez granicę granica "zachowuje się" przez znak ≥, to jest, jeśli na przykład x_n≥1 to lim x_n ≥1 ale niekoniecznie przez znak >, bo na przykład

1		1
	>0 ale lim		= 0
n		n

Daga: super, dziękuje