Moment bezwładności paraboli Krzysiek: Oblicz moment bezwładności jednorodnego obszaru o masie M względem osi symetrii. Obszarem tym jest odcinek paraboli o szerokości a i wysokości h. Bardzo proszę o pomoc

jc: Obszarem jest krzywa czy obszar dwuwymiarowy?

Krzysiek: Obszar płaski

jc: Połóżmy parabolę. y(x)=(a/2) (x/h)^1/2 pole = 2 ∫₀^h y(x) dx masa = pole * gęstość moment bezwładności = gęstość * 2∫₀^h y(x)² dx pole = 3ah/2 itd.

Krzysiek: Prowadzący stwierdził że jest źle i mam to zrobić przy pomocy całki podwójnej.

jc: Bo faktycznie jest źle, choć łatwo poprawić. y = h(x/a/2)2 M = d ∫−a/2a/2 dx ∫h(x/a/2)2h 1 dy I = d ∫−a/2a/2 dx ∫h(x/a/2)2h x2 dy Zwróć uwagę, że całka wewnętrzna jest ze stałej, więc tak, jakby jej nie było. M = d ∫−a/2a/2 h(1− (x/a/2)2) dx I = d ∫−a/2a/2 h(1− (x/a/2)2)x2 dx Czy to zajęcia z fizyki czy z matematyki?

Krzysiek: Matematyka

jc: Pokręciłem trochę (nie można było przyjąć, że szerokość= 2a?). M=d∫−a/2a/2 dx ∫4hx2/a2 h 1 dy = d∫−a/2a/2 h(1−4x2/a2) dy I=d∫−a/2a/2 dx ∫4hx2/a2 h x2 dy = d∫−a/2a/2 h(1−4x2/a2)x2 dy

jc: Oj, całki po prawej stronie są po dx, a nie po dy!

jc: A jednak wrócę do pierwszej propozycji (ogólnie) Figura płaska ograniczona liniami y=f(x), y=g(x), x∊[a,b]. M=∫_a^b dx ∫_g(x)^f(x) 1 dy = d∫_a^b [f(x)−g(x)] dx I = ∫_a^b dx ∫_g(x)^f(x) y² dy = (d/3)∫_a^b [f(x)³−g(x)³] dx W naszym przykładzie f(x)=(a/2) (x/h)^1/2, g(x)=−f(x), x∊[0,h]. M=2d∫₀^h f(x) dx= 3ahd/2 I = (2d/3) ∫₀^h f(x)³ dx =da³h/30 I = Ma²/45