całka Ola: Cześć, czy ktoś z was posiada rozwiązanie lub mogłby obliczyć całkę powierzchniową: ∬(x³ dydz + y³ dxdz + z³ dxdy), S− zewnętrzna strona połowy sfery x²+y²+z²=1 S Z góry dziękuje za pomoc

jc: Półsfera: z ≥ 0. Dwa pierwsze składniki = 0. x= sin u cos v y= sin u sin v z = cos u dx = cos u cos v du − sin u sin v dv dy = cos u sin v du + sin u cos v dv dx dy = sin u cos u du dv całka = ∫₀^π/2 du ∫₀^2π (cos u)³ sin u cos u dv = 2π∫₀^π/2 (cos u)⁴ sin u du =2π∫₀¹ c⁴ dc = 2π/5 Czy znasz odpowiedź?

Ola: W zadaniu należy domknąć sferę krążkiem i obliczyć ∬_S=∬_SuS1− ∬_S1 Zrobiłam tak: ∭[3x²dydx+3y²dxdz+3z²dxdy] = 3∭[x²dydx+y²dxdz+z²dxdy] r r x=rcosφcosψ y=rsinφcosψ z=rsinφ J=r²cosφ 0≤φ≤2π 0≤r≤1 −π/2≤ψ≤π/2 ∫₀^2π [∫_−π/2^π/2 [ ∫₀¹ r²*r²cosψ dr]dψ]dφ] Ale dalej nie wiem jak policzyć

jc: Sprowadziłaś liczenie jednej całki do dwóch (po powierzchni i po objętości). Całki się separują. Całka względem fi = 2π Całka względem r = 1/5 całka względem psi = 2 Wynik = iloczyn = 4π/5 Czy uczysz się na pwr? To chyba jedyne miejsce, gdzie nauczyciele matematyki stosują współrzędne geograficzne.

jc: No dobrze, całka po kole = 0 (dz=0, z=0). Ale całkę potrójną liczysz z d(x³dydz + y³dzdx + z³dxdy) = 3(x²+y²+z²)dxdydz. Liczysz po połowie sfery, więc w geograficznym ujęciu, kąt psi (zmienia się od 0 do π/2). Wynik jest więc dwa razy mniejszy, czyli 2π/5. Pamiętaj o czynniku 3. Ciekawe skąd się bierze rozbieżność: mój rachunek dał 3 razy mniej.

jc: Już wiem, moje stwierdzenie, że dwa pierwsze składniki = 0 jest fałszywe. W takim razie wynik = 6π/5. Popraw tylko notację przy całce potrójnej. Powinno być: 3∫∫∫(x²+y²+z²)dx dy dz.

Ola: Serdecznie dziękuje za pomoc