indukcja matematyczna Roksana: Powołując się na indukcję matematyczną udowodnij że jeżeli funkcja f:N→ℕ

⎧	f(0) = 8
⎩	f(n) = 4f(n − 1) − 21, n >= 1

to f(n) = 4n + 7, n >= 0.

Blee: Nie dalej jak dwa dni temu analogiczne zadanie sie robilo tutaj. Poszukaj.

Blee: f(n) = 4n +7 NIE JEST prawda dla kazdego n≥0

Roksana: Twierdzenie: Jeśli f(0)=8 f(n)=4f(n−1)−21, n≥1, to f(n) = 4ⁿ+7, n≥0. Dowód: Korzystamy z Twierdzenia o indukcji matematycznej dla n=0 wzór ma postać f(0)=8 Dowodzimy "prawa przejścia" Jeśli wzór jest prawdziwy dla n=5 to jest prawdziwy dla n=5+1 f(k)=4^k+7 f(k+1) = 4*f(k)−21= 4(4^k+7)−21= 4^k+7 Zatem, z twierdzenia o indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego n∊N Czy jest to poprawnie wykonane ?

Roksana: Czy ktoś mógłby pomóc ?

Dominik: nie jest. zeby pokazac, ze ∀n∊ℕ A(n) nalezy pokazac: (1) A(0) (2) ∀k∊ℕ A(k) ⇒ A(k + 1) (1) mozna uznac za oczywiste. w (2) musisz (bo dowodzimy implikacji) sformulowac zalozenie − jak wyglada?

Roksana: Sprawdzam dla n+1 f(n+1)=4f(n)−21*4(4ⁿ+7)−21=4ⁿ⁺¹+28−21=4ⁿ⁺¹+7

Blee: Przeksztalcenia prawidlowe. Brak jednak 'opisowki'. Z tego powodu w takiej formie dowod jest do wywalenia

Roksana: opisówki ? czyli jak powinnam to opsiać ? mogę prosić o pomoc ?

Roksana: Czy ktoś jest w stanie mi wyjaśnić jak mam dokładnie to opisać ? z tego co mi się wydaje to trochę to opisałam. nie jestem jednak pewna czy zadanie jest zrobione do końca

jc: f(0)=8 f(n+1) = 4f(n) − 21 Mamy wykazać wzór f(n)=4ⁿ+7. Dowód indukcyjny. f(0)=8, wzór daje nam f(0)=1+7=8, a więc tyle samo. Załóżmy teraz, że f(n)=4ⁿ+7. Wtedy f(n+1)=4f(n)−21=4(4ⁿ+7)−21=4ⁿ⁺¹+7. Dlatego dla każdego n, f(n)=4ⁿ+7.