nierówność bla bla: Rozwiąż nierówność

1		1		1		1		1
	+		+		+ ... +		<
x(x+1)		(x+1)(x+2)		(x+2)(x+3)		(x+9)(x+10)		x−2

dusia: Najpierw uproszczę lewą cześć nierówności

	(x+1)−x		(x+2)−(x+1)		(x+3)−(x+2)
L =		+		+		+ ... +
	x(x+1)		(x+1)(x+2)		(x+2)(x+3)

	(x+9)−(x+8)		(x+10)−(x+9)
		+		=
	(x+8)(x+9)		(x+9)(x+10)

	x+1		x		x+2		x+1		x+3
=		−		+		−		+		−
	x(x+1)		x(x+1)		(x+1)(x+2)		(x+1)(x+2)		(x+2)(x+3)

	x+2		x+9		x+8		x+10
		+ ... +		−		+		−
	(x+2)(x+3)		(x+8)(x+9)		(x+8)(x+9)		(x+9)(x+10)

	x+9
		=
	(x+9)(x+10)

1

1

1

1

1

1

1

=

−

+

−

+

−

+ ... +

−

x

x+1

x+1

x+2

x+2

x+3

x+8

	1		1		1		1		1
		+		−		=		−
	x+9		x+9		x+10		x		x+10

	1		1		1
Zatem nasza nierówność ma teraz prostą postać		−		<
	x		x+10		x−2

x+10−x		1
	<
x(x+10)		x−2

10		1
	<
x(x+10)		x−2

Mnożymy obie strony przez 3 wielomiany: x, x+10 i x−2. Otrzymujemy teraz 2 przypadki. W zależności od znaku tych wyrażeń znak nierówności pozostaje bez zmian lub się zmienia.. 1. przypadek: 10 (x−2) < x (x+10) dla x ∊(−10, 0) ∪ (2, ∞) 2. przypadek: 10 (x−2) > x (x+10) dla x ∊(−∞, −10) ∪ (0, 2) 1, przypadek 10 (x−2) < x (x+10) 10x − 20 < x² +10x x² > −20 powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego x, czyli dla tego przypadku dla x ∊(−10, 0) ∪ (2, ∞) 2. przypadek 10 (x−2) > x (x+10) 10x −20 > x² + 10x x² < −20 powyższa nierówność nie jest prawdziwa dla żadnego x ∊ R Zatem podsumowując oba przypadki nierówność z zadania jest spełniona dla x ∊(−10, 0) ∪ (2, ∞)

Bogdan: Po przyjęciu założeń dodajemy składniki lewej strony parami.

	1		1		x + 2 + x
a =		+		=		=
	x(x + 1)		(x + 1)(x + 2)		x(x+ 1)(x + 2)

	2(x + 1)		2
=		=
	x(x+ 1)(x + 2)		x(x + 2)

	1		1		x + 4 + x + 2
b =		+		=		=
	(x+ 2)(x + 3)		(x + 3)(x + 4)		(x + 2)(x + 3)(x + 4)

	2(x + 3)		2
=		=
	(x + 2)(x + 3)(x + 4)		(x + 2)(x + 4)

	1		1		x + 6 + x + 4
c =		+		=		=
	(x+ 4)(x + 5)		(x + 5)(x + 6)		(x + 4)(x + 5)(x + 6)

	2(x + 5)		2
=		=
	(x + 4)(x + 5)(x + 6)		(x + 4)(x + 6)

Analogicznie:

	1		1		2
d =		+		=
	(x+ 6)(x + 7)		(x + 7)(x + 68		(x + 6)(x + 8)

	1		1		2
e =		+		=
	(x+ 8)(x + 9)		(x + 9)(x + 10)		(x + 8)(x + 10)

	4		4
p = a + b =		, q = c + d =
	x(x + 4)		(x + 4)(x + 8)

	8		10
r = p + q =		, r + e =
	x(x + 8		x(x + 10)

Ostatecznie otrzymujemy nierówność:

10		1
	<
x(x + 10)		x − 2