Przestrzenie dwuliniowe (ortogonalne) Milo: Hej Mam problem z zadaniem z przestrzeni dwuliniowych (lub ortogonalnych − inna nazwa). Mam przestrzeń liniową V i na niej dwuliniową formę symetryczną h. W ⊆ V − podprzestrzeń Należy wykazać, że W^⊥⊥ = W + V^⊥ Zawieranie ⊇ jest jasne, bo jeśli w∊W, v∊V^⊥ i u∊ W^⊥, to h(w+v, u) = h(w,u) + h(v,u) = 0 + 0 = 0, bo w należy do W, u do W^⊥, więc pierwszy składnik jest 0, v jest prostopadły do wszystkiego, więc drugi składnik jest 0. Stąd w+v jest prostopadłe do dowolnego wektora z W^⊥, więc należy do W^⊥⊥. Jednak nie mam pojęcia, jak pokazać zawieranie w drugą stronę (lub równość wymiarów czy coś innego, co by świadczyło o równości tych przestrzeni). Proszę o pomoc, gubię się w tych przestrzeniach dwuliniowych.

Adamm: V^⊥={0} Więc chcesz udowodnić że W=(W^⊥)^⊥

Milo: Niestety ta forma dwuliniowa nie musi być iloczynem skalarnym, może tego nie zaznaczyłem. Np. na R² może być h((x₁,x₂),(y₁,y₂)) = x₂y₂ wtedy np. (1,0)∊(R²)^⊥

Adamm: Najpierw udowodnij, że W∩V^⊥={0}

Adamm: To chyba jest suma prosta, tak?

Milo: W treści zadania mam zwykłą sumę algebraiczną

Adamm: Dlaczego h(w, u)=0? Chyba jest coś czego mi nie mówisz?

Adamm: A, jest symetryczna. No tak

Milo: Może jednak ktoś byłby w stanie pomóc? :x

b.: To nie jest prawdą w pełnej ogólności, bo np. dla iloczynu skalarnego mamy tak jak napisał Adam w pierwszym poście. Ale równość W=(W^⊥)^⊥ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy W jest podprzestrzenią domkniętą (tak będzie zawsze gdy V jest skończenie wymiarowa)

b.: W przypadku skończenie wymiarowym próbowałbym wybrać bazę ortogonalną W i uzupełnić ją do bazy ortogonalnej całego V.