Matex, podzielność Lolek: Wyznacz najmniejszą nieparzystą liczbę n>1, dla której liczba n²−1 jest podzielna przez 121.

PW: n²−1=(n−1)(n+1) 121=11^.11 Podzielność przez 121 oznacza więc istnienie liczby k, takiej że (1) (n−1)(n+1)=11^.11^.k, k∊N. Szukana liczba n jest nieparzysta, czyli n=2m+1 dla pewnej m∊N. Równość (1) ma postać 2m(2m+2)=11^.11^.k, k∊N (2) 4m(m+1)=11^.11^.k. Prawa strona ma w rozkładzie na czynniki pierwsze co najmniej dwa czynniki "11". Liczby m i (m+1) nie mogą być jednocześnie podzielne przez 11, a więc najmniejszą liczbą m spełniającą równość (2) jest m=120 (dla takiej m podzielna przez 11^.11=121 jest m+1). Odpowiedź: Najmniejszą liczbą nieparzystą n spełniającą warunki zadania jest n=2^.120+1=241.