Diagonalizacja Benny: jc, ponad tydzień temu pisałeś o twierdzeniu, które mówi, że macierz jest diagonalizowalna ⇔ wielomian minimalny ma pierwiastki jednokrotne. Nigdzie nie mogę znaleźć owego twierdzenia. Czy mógłbyś podać zarys dowodu lub źródło, gdzie takowy znajdę?

jc: https://archive.org/details/APathToModernMathematics ale nie wiem w którym miejscu. Jak nie znajdziesz, to spróbuje zapisać dowód.

jc: Dowód dla 3 różnych wartości na przekątnej / trzech różnych pierwiastkach wielomianu: a,b,c. (w książce jest dowód dla dwóch różnych wartości, uogólnienie jest oczywiste). M diagonalizowalna, M=RDR⁻¹, D=macierz diagonalna. f(x)=(x−a)(x−b)(x−c) f(M)=R f(D) R⁻¹ = 0 bo f(D)=0. Odwrotnie, f(M)=0.

	1
P1=		(M−a)(M−b), podobnie P2, P3.
	(b−a)(c−a)

P₁+P₂+P₃ = I P_iP_j=0, i≠j, P_i²=P_i MP₁ = aP₁ itd. V_i = P_iV, MV_i ⊂ V_i Wybieramy w każdej V_i jakąś bazę. Suma tych baz jest bazą V (dlaczego?). W takiej bazie M jest macierzą diagonalną.

Benny: Czym są macierze P_i?

jc: Masz definicje w tekście. To 3 rzuty, które w sumie dają identyczność.

jc: Konsekwentnie pomijam macierz jednostkową pisaną po skalarach. Jeśli razi Cię zapis M−a, to napisz M−aI.

Benny: To akurat zauważyłem.

jc: Miał być szkic. Pokaż prawdziwość kolejnych faktów, począwszy od P1+P2+P3 = I.

Benny: Ok, jeszcze muszę zerknąć na tą książkę i ogarnąć oznaczenia z niej. Dzięki.

jc: Nie wiem, w którym miejscu książki znajdziesz zacytowany dowód. Książka jest niezwykła i polecam ją każdemu, kto chce nauczyć się algebry liniowej i geometrii analitycznej (autor chce pokazać, jak uczyć dzieci takich rzeczy). Dodam, że jest wydanie polskie, dostępne pewnie w antykwariatach i bibliotekach,

Benny: Może uda się znaleźć. Tak swoją drogą to znasz jakiekolwiek zastosowanie wielomianów minimalnych?

Benny: Czy to ta książka? http://allegro.pl/sciezki-wiodace-do-matematyki-sawyer-i7360292653.html?reco_id=ad2d6817-5e87-11e8-b9a5-6c3be5c06da0&ars_rule_id=201

jc: Nie. Polski tytuł: Droga do matematyki współczesnej. Nie wszyscy podzielają mój zachwyt wspomnianą książką.

Benny: https://e.allegroimg.com/original/0146c0/d0a5ff274c5e9a9148a8ecc9458e Może ta?

jc: Tak, to tak książka. Twierdzenie sformułowałbym raczej tak: M można zdiagonalizować ⇔ istnieje wielomian bez pierwiastków wielokrotnych taki, że f(M)=0. (może trochę dziwić, ale niepotrzebne czynniki prowadzą do rzutów = zero).

Benny: Zakupię i zajrzę, dzięki bardzo

Adamm: jc, jaka jest twoja "specjalizacja", jeśli można tak powiedzieć?

Adamm: pytam z ciekawości