Udowodnij Damian: Witam moglby mi ktos pomoc jak to zrobic ? Udowodnij że nastepujące wzory są prawdziwe dla kazdego n∊N 1)1²+2²+3²+...+n²=n/6(2n²+3n+1) 2) 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n/3(n+1)(n+2) 3)1/2+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(n+1/2)x/2sin x/2, sin x/2≠0

Mariusz: Najwygodniej będzie zastosować indukcję

Eta: Dowód indukcyjny:

	n(n+1)(n+2)
2/ 1*2+2*3+.... +n(n+1)=
	3

	1*3
dla n=1 L=1 , P=		=1
	3

założenie indukcyjne

	k(k+1)(k+2)
dla n=k 1*2+2*3+...+k(k+1)=
	3

teza indukcyjna

	(k+1)(k+2)(k+3)
dla n= k+1 1*2+2*3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) =
	3

	k(k+1)(k+2)		3(k+1)(k+2)		(k+1)(k+2)(k+3)
L=		+		=		=P
	3		3		3

twierdzenie jest prawdziwe dla każdego n

Mila: 1) Indukcja podobnie , jak Eta. II sposób − zaburzanie sum (k+1)³=k³+3k²+3k+1 S_n=∑(k=0 do n) k³ S_n+1=S_n+(n+1)³ lub S_n+1=0³+∑(k=1 do n+1) k³=∑(k=0 do n+1) (k+1)³⇔ S_n+(n+1)³=∑(k=0 do n+1) (k+1)³ S_n+(n+1)³=∑k³+3∑k²+∑(k=0 do n)(3k+1)⇔ (n+1)³=3∑k²+∑(k=0 do n)(3k+1)

	(n+1)*(3n+2)
(n+1)3=3∑(k=0 do n)k2+
	2

	(n+1)*(3n+2)
(n+1)3−		=3∑(k=0 do n)k2
	2

	3n+2
(n+1)*[(n+1)2−		]=3∑(k=0 do n)k2
	2

	n*(n+1)*(2n+1)
∑(k=1 do n) k2=
	6

=========================