dowód johnik: Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia W(x)=ax3 + bx2 +cx + d tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a,b,c,d). Wykaż,że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x),to liczba −1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu

ICSP: w(x) = ax³ + (a+r)x² + (a + 2r)x + a + 3r = a(x³ + x² + x + 1) + r[x² + 2x + 3] w(1) = 4a + 6r = 0 ⇒ r ≠ 0 w(−1) = r[x² + 2x + 3] ≠ 0 bo r ≠ 0 i x² + 2x + 3 = (x +1)² + 2 > 0

anaisy: Załóżmy, że −1 jest pierwiastkiem. Wtedy 0 = W(−1) = −a+b−c+d. Z własności ciągu arytmetycznego a+c = 2b, czyli 0 = b+d−(a+c) = b+d−2b = d−b. Stąd d=b, czyli ciąg (a,b,c,d) jest stały. 1 jest pierwiastkiem W(x), stąd 0=W(1)=a+b+c+d=4a, czyli W(x)=0, sprzeczność