Udowodnienie Piotrek33xx: Udowodnij, że dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n, liczbę (3+2 √2 )ⁿ można przedstawić w postaci a_n+b_n √2, gdzie liczby a_n i b_n są całkowite i dodatnie. Wywnioskuj stąd, że (3−2 √2 )ⁿ = a_n−b_n √2 dla każdej nieujemnej liczny całkowitej n. Witam mam problem z powyższym zadaniem kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać, czy ktoś by mi je rozwiązał i przedstawił tok rozumowania?

Basia: skorzystaj z dwumianu Newtona inny sposób to dowód indukcyjny

Basia: dowód indukcyjny n=1 (3+2√2)ⁿ = 3+2√2 a₁=3 b₁=2 Z_i: (3+2√2)ⁿ = a_n+b_n√2 a_n,b_n∊Z₊ T_i: (3+2√2)ⁿ⁺¹ = a_n+1+b_n+1√2 a_n+1,b_n+1∊Z₊ d−d: (3+2√n)ⁿ⁺¹ = (3+2√2)ⁿ*(3+2√2) = (na mocy Z_i) (a_n+b_n√2)(3+2√2) = 3a_n + 2a_n√2+3b_n√2+2b_n*2 = (3a_n+4b_n)+(2a_n+3b_n)√2 skoro a_n,b_n∊Z₊ to a_n+1=3a_n+4b_n i b_n+1=2a_n+3b_n oczywiście też a to kończy dowód

Piotrek33xx: Bardzo dziękuje

Adamm: Od razu można było poprowadzić dowód obu faktów